Calcular:
lim x +infty(x-4x-1)^x+3

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyl(x-4x-1r)^x+3
Estamos diante de uma forma indeterminada do tipo 1^infty. Para resolver isso, vamos usar a técnica de tomar logaritmo natural e, depois, voltar via exponencial.

Passo 2

Primeiro escrevemos a base como um “1 mais algo pequeno”. Note que
x-4x-1 =1 - 3x-1

Passo 3

Definimos
L = limxto+inftyl(x-4x-1r)^x+3
e calculamos
ln L = limxto+infty(x+3),lnl(1 - 3x-1r)

Passo 4

Usamos a expansão para ln(1+u) quando uto0:
ln(1+u)=u - u^22 + o(u^2)
Aqui u=-tfrac3x-1, então
lnl(1 - 3x-1r) = -3x-1 - 12l(-3x-1r)^2 + ol(1x^2r) = -3x-1 - 92(x-1)^2 + ol(1x^2r)
Multiplicando por (x+3), temos
(x+3)lnl(1 - 3x-1r) = (x+3)l(-3x-1r) + (x+3)l(-92(x-1)^2r) + ol(1xr)
O primeiro termo é
-;3,x+3x-1 longrightarrow -3 (xto+infty),
e o segundo termo tende a zero. Logo
ln L = limxto+infty(x+3)lnl(1 - 3x-1r) = -3

Passo 5

Voltando pelo exponencial, obtemos
L = e^ln L = e^-3

Resposta

e^-3

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