Suponha que f seja derivável em R. Sejam F(x)=f(e^x) e G(x)=e^f(x). Encontre as expressões para: F^prime(x) e G^prime(x).

Passo 1

O enunciado diz que f é derivável em R e define as funções
F(x)=fl(e^xr),
G(x)=e^f(x)
O objetivo é encontrar F'(x) e G'(x). Aqui vamos usar a regra da cadeia e a derivada da exponencial.

Passo 2

Para obter F'(x), note que se definirmos a função interna
u(x)=e^x,
então F(x)=fl(u(x)r). Aplicando a regra da cadeia:
F'(x)=f'l(u(x)r)cdot u'(x)
Como u'(x)=ddxe^x=e^x, segue-se
F'(x)=f'l(e^xr),e^x

Passo 3

Para obter G'(x), considere G(x)=e^f(x). A derivada de e^v em relação a v é e^v, e então aplicamos a regra da cadeia com v(x)=f(x):
G'(x)=e^f(x)cdot ddxf(x)
Como ddxf(x)=f'(x), temos
G'(x)=e^f(x),f'(x)

Resposta

F'(x)=f'l(e^xr),e^x,
G'(x)=e^f(x),f'(x)

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