Estude as funções dadas com relação a máximos e mínimos locais.
f(x)=x^2 e^-5 x

Passo 1

O enunciado pede para estudar os extremos locais da função
f(x)=x^2e^-5x
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas para encontrar pontos críticos e usar o teste da segunda derivada para classificar cada um.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando a regra do produto. Seja
u(x)=x^2, v(x)=e^-5x,
então
u'(x)=2x, v'(x)=-5e^-5x,
e portanto
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x,e^-5x+x^2l(-5e^-5xr) =e^-5xl(2x-5x^2r)

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0. Como e^-5x>0 para todo x, basta
2x-5x^2=0 Longrightarrow x(2-5x)=0 Longrightarrow x=0ou x=25

Passo 4

Para classificar esses pontos usamos a segunda derivada. Partindo de
f'(x)=e^-5x(2x-5x^2),
temos
f''(x) =ddxl[e^-5x(2x-5x^2)r] =-5e^-5x(2x-5x^2)+e^-5x(2-10x) =e^-5xl(25x^2-20x+2r)
Agora avaliaremos em cada ponto crítico:
bul<=t Em x=0:
f''(0) =e^0l(25cdot0^2-20cdot0+2r)=2>0,
logo x=0 é ponto de mínimo local.
bul<=t Em x=tfrac25:
f''l(tfrac25r) =e^-5cdot25l(25cdottfrac425-20cdottfrac25+2r) =e^-2(4-8+2)=-2e^-2<0,
logo x=tfrac25 é ponto de máximo local.
Para completar, o valor da função nesses pontos é
f(0)=0, fl(tfrac25r)=l(tfrac25r)^2e^-2=425e^2

Resposta

Ponto de mínimo local em x=0 com f(0)=0.
Ponto de máximo local em x=tfrac25 com f(tfrac25)=tfrac425e^2.

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