Encontre a derivada y^prime. Simplifique quando possível.
y=ln (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
y = lnl(x^2 + y^2r)
e pede a derivada y'= dydx.
Aqui vamos usar diferenciação implícita e a regra da cadeia, já que y aparece nos dois lados.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, temos simplesmente
ddx[,y,] = y'
No lado direito, aplicamos a derivada de ln(u), que é u'/u, com u = x^2 + y^2. Logo,
ddxl[ln(x^2 + y^2)r] = 1x^2 + y^2,ddx[,x^2 + y^2,]
E ddx[,x^2 + y^2,] = 2x + 2y,y' (regra da cadeia em y^2).

Passo 3

Combinando, obtemos
y' = 2x + 2y,y'x^2 + y^2

Passo 4

Isolamos y'. Multiplicando ambos os lados por x^2 + y^2:
y',(x^2 + y^2) = 2x + 2y,y'
Passamos o termo 2y,y' para o lado esquerdo:
y',(x^2 + y^2) - 2y,y' = 2x ;Longrightarrow; y'l(x^2 + y^2 - 2yr) = 2x

Passo 5

Por fim, dividimos pelo fator que multiplica y':
y' = 2x,x^2 + y^2 - 2y,

Resposta

y' = 2xx^2 + y^2 - 2y

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