Calcular:
lim x -infty(3 x+23 x-1)^2 x

Passo 1

O enunciado pede calcular limxto -infty(3x+23x-1)^2x. O conteúdo é limites de expressão exponencial do tipo (1+u(x))^v(x) com xto -infty. Para resolver, vamos reescrever a base em forma 1+u(x) e usar o limite padrão limytopminfty(1+1/y)^y=e.

Passo 2

Reescrevemos a fração:
3x+23x-1 =3xl(1+tfrac23xr)3xl(1-tfrac13xr) =1+tfrac23x1-tfrac13x
Para xto -infty temos tfrac23xto 0 e tfrac13xto 0, então
1+tfrac23x1-tfrac13x =1+23x+13x+ol(tfrac1xr) =1+tfrac1x+ol(tfrac1xr)

Passo 3

Substituindo no limite original,
(3x+23x-1)^2x =l(1+tfrac1x+o(tfrac1x)r)^2x =l[l(1+tfrac1xr)^xr]^2l(1+o(1)r)^2x
Como limxtopminfty(1+1/x)^x=e e (1+o(1))^2xto1, concluímos que
limxto -infty(3x+23x-1)^2x =e^2

Resposta

e^2

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