Calcular:
lim x +infty(2 x+32 x+1)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyl(2x+32x+1r)^x
O conteúdo é limite de função na forma l(1+u(x)r)^v(x), que a gente resolve transformando em exponencial via logaritmo e usando a expansão de ln(1+u).

Passo 2

Reescrevemos a base como 1 mais um termo pequeno. Note que
2x+32x+1 =1+(2x+3)-(2x+1)2x+1 =1+22x+1

Passo 3

Denote
L=limxto+inftyl(2x+32x+1r)^x
Como a exponencial é contínua, estudamos
ln L =limxto+inftyx;ln!l(1+tfrac22x+1r)

Passo 4

Para xtoinfty temos u=tfrac22x+1to0 e a expansão
ln(1+u)=u-tfracu^22+cdots
Logo,
x;ln!l(1+tfrac22x+1r) =xl(tfrac22x+1-Ol(tfrac1x^2r)r) =2x2x+1-Ol(tfrac1xr) longrightarrow1
Isso mostra que ln L=1.

Passo 5

Como ln Lto1, concluímos que
L=e^1=e

Resposta

e

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