Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:
f(x, y)=tg(x+raizy)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=tanl(x+raizyr)
O conteúdo principal aqui é o cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia, já que temos uma composição de funções: a tangente de uma soma que envolve x e raizy.

Passo 2

Para achar partial fpartial x, aplicamos a regra da cadeia a
u(x,y)=x+raizy
e
g(u)=tan(u),
pois f(x,y)=gl(u(x,y)r). Primeiro,
ddutan(u)=sec^2(u)
e
partial upartial x=partialpartial xl(x+raizyr)=1
Logo,
partial fpartial x =ddutan(u)g|u=x+raizycdotpartial upartial x =sec^2l(x+raizyr)cdot1 =sec^2l(x+raizyr)

Passo 3

Para achar partial fpartial y, usamos de novo a regra da cadeia. Temos
partial upartial y =partialpartial yl(x+raizyr) =12raizy (y>0)
E como antes ddutan(u)=sec^2(u), obtemos
partial fpartial y =ddutan(u)g|u=x+raizycdotpartial upartial y =sec^2l(x+raizyr)cdot12raizy =sec^2l(x+raizyr)2raizy

Resposta

partial fpartial x(x,y) =sec^2l(x+raizyr), partial fpartial y(x,y) =sec^2l(x+raizyr)2raizy

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