Calcular:
lim x +infty(x+4x-3)^x

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyl(x+4x-3r)^x
Este é um limite do tipo exponencial infinito, e vamos usar a ideia de que
limxto+inftyl(1+tfracaxr)^x=e^a,
ou equivalentemente trabalhar com o logaritmo para transformar potência em produto.

Passo 2

Reescrevemos a base de forma a evidenciar o termo 1+tfraccdotx:
x+4x-3 =xl(1+tfrac4xr)xl(1-tfrac3xr) =1+tfrac4x1-tfrac3x

Passo 3

Definimos L como o valor do limite e usamos o logaritmo:
ln L =limxto+inftyxln!l(1+tfrac4x1-tfrac3xr) =limxto+inftyxl[lnl(1+tfrac4xr)-lnl(1-tfrac3xr)r]
Para uto0 vale ln(1+u)=u+o(u). Logo,
lnl(1+tfrac4xr)=tfrac4x+o(tfrac1x), lnl(1-tfrac3xr)=-tfrac3x+o(tfrac1x),
portanto
ln L =limxto+inftyxl(tfrac4x+tfrac3x+o(tfrac1x)r) =limxto+inftyl(7+o(1)r) =7

Passo 4

Como ln L=7, obtemos
L=e^7

Resposta

e^7

Exercícios relacionados