1. Considere a função f(x)=x^4+1x^2.
    a) Determine o domínio de f;
    b) Estude os intervalos de crescimento e decrescimento de f;
    c) Estude a concavidade e os pontos de inflexão de f;
    d) Calcule lim x -infty f(x) e lim x +infty f(x);
    e) Esta função admite raízes? Justifique;
    f) Com as informações obtidas acima, esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^4+1x^2
e pede:
– (a) domínio;
– (b) intervalos de crescimento e decrescimento;
– (c) concavidade e pontos de inflexão;
– (d) limites em xtopminfty;
– (e) existência de raízes;
– (f) esboço do gráfico.
Para isso vamos reescrever f como x^2+x^-2, usar a derivada primeira para monotonicidade, a segunda para concavidade, resolver f(x)=0 para raízes e estudar os limites.

Passo 2

Queremos o domínio de
f(x)=x^4+1x^2
Como a divisão por zero não é permitida, basta excluir x=0. Portanto
Dom(f)=(-infty,0)cup(0,infty)

Passo 3

Escrevendo
f(x)=x^2+x^-2,
temos
f'(x)=2x-2x^-3=2x^4-1x^3
As soluções de f'(x)=0 são x^4-1=0, ou seja x=pm1. Analisando o sinal de f' em cada intervalo:
– Para x<-1: x^4-1>0, x^3<0 Rightarrow f'<0 (decrescente).
– Para -1<x<0: x^4-1<0, x^3<0 Rightarrow f'>0 (crescente).
– Para 0<x<1: x^4-1<0, x^3>0 Rightarrow f'<0 (decrescente).
– Para x>1: x^4-1>0, x^3>0 Rightarrow f'>0 (crescente).
Logo
decrescente em (-infty,-1)cup(0,1), crescente em (-1,0)cup(1,infty)

Passo 4

Calculando a segunda derivada:
f''(x)=ddxl(2x-2x^-3r)=2+6x^-4=2+6x^4
Como x^4>0, tem-se f''(x)>0 para todo xne0. Assim f é côncava para cima em todo o domínio e não há pontos de inflexão.

Passo 5

Para xtopminfty,
f(x)=x^2+1x^2sim x^2to+infty
Logo
limxto-inftyf(x)=+infty, limxto+inftyf(x)=+infty

Passo 6

Procurando raízes reais de f(x)=0:
x^4+1x^2=0Longrightarrow x^4+1=0,
o que não tem solução real. Portanto não há raízes reais.

Passo 7

Com tudo isso, o gráfico de f é uma curva par (simétrica), com assíntota vertical em x=0, com mínimos locais em x=pm1 onde
f(pm1)=1^2+1^-2=2,
e que cresce para +infty tanto quando xto0 quanto quando |x|toinfty. Além disso é sempre côncava para cima.

Resposta

(a) Dom(f)=(-infty,0)cup(0,infty)
(b) f é decrescente em (-infty,-1)cup(0,1) e crescente em (-1,0)cup(1,infty)
(c) f''(x)=2+6/x^4>0, logo f é côncava para cima em todo o domínio e não possui pontos de inflexão.
(d) limxto-inftyf(x)=+infty e limxto+inftyf(x)=+infty
(e) Não há raízes reais, pois x^4+1=0 não admite solução real.
(f) O gráfico é par, tem assíntota vertical em x=0, mínimos locais em (pm1,2) e tende a +infty para xto0 e |x|toinfty, sendo sempre côncavo para cima.

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