- Considere a função
.
a) Determine o domínio de
;
b) Estude os intervalos de crescimento e decrescimento de
;
c) Estude a concavidade e os pontos de inflexão de
;
d) Calcule
e
;
e) Esta função admite raízes? Justifique;
f) Com as informações obtidas acima, esboce o gráfico de
.
a) Determine o domínio de
b) Estude os intervalos de crescimento e decrescimento de
c) Estude a concavidade e os pontos de inflexão de
d) Calcule
e) Esta função admite raízes? Justifique;
f) Com as informações obtidas acima, esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
– (a) domínio;
– (b) intervalos de crescimento e decrescimento;
– (c) concavidade e pontos de inflexão;
– (d) limites em ;
– (e) existência de raízes;
– (f) esboço do gráfico.
Para isso vamos reescrever como
, usar a derivada primeira para monotonicidade, a segunda para concavidade, resolver
para raízes e estudar os limites.
– (a) domínio;
– (b) intervalos de crescimento e decrescimento;
– (c) concavidade e pontos de inflexão;
– (d) limites em
– (e) existência de raízes;
– (f) esboço do gráfico.
Para isso vamos reescrever
Passo 2
Queremos o domínio de
Como a divisão por zero não é permitida, basta excluir
. Portanto
Passo 3
Escrevendo
temos
As soluções de
são
, ou seja
. Analisando o sinal de
em cada intervalo:
– Para :
,
(decrescente).
– Para :
,
(crescente).
– Para :
,
(decrescente).
– Para :
,
(crescente).
– Para
– Para
– Para
– Para
Logo
Passo 4
Calculando a segunda derivada:
Como
, tem-se
para todo
. Assim
é côncava para cima em todo o domínio e não há pontos de inflexão.
Passo 5
Para
,
Logo
Passo 6
Procurando raízes reais de
:
o que não tem solução real. Portanto não há raízes reais.
Passo 7
Com tudo isso, o gráfico de
é uma curva par (simétrica), com assíntota vertical em
, com mínimos locais em
onde
e que cresce para
tanto quando
quanto quando
. Além disso é sempre côncava para cima.
Resposta
(a)
(b) é decrescente em
e crescente em
(c) , logo
é côncava para cima em todo o domínio e não possui pontos de inflexão.
(d) e
(e) Não há raízes reais, pois não admite solução real.
(f) O gráfico é par, tem assíntota vertical em , mínimos locais em
e tende a
para
e
, sendo sempre côncavo para cima.
(b)
(c)
(d)
(e) Não há raízes reais, pois
(f) O gráfico é par, tem assíntota vertical em