Encontre a derivada y^prime. Simplifique quando possível.
arctan (x^2 y)=x+x y^2

Passo 1

O enunciado dá uma relação implícita envolvendo arctan e pede y'. O conteúdo é derivação implícita, usando a regra da cadeia para arctan(u) e a regra do produto para x^2y e para xy^2.

Passo 2

Definimos
u(x,y)=x^2y,
então a derivada de arctan(u) é, pela regra da cadeia,
l(arctan(u)r)'=u'1+u^2
Aqui
u'=ddx(x^2y)=2xy + x^2y'
Logo a derivada do lado esquerdo é
2xy + x^2y'1 + (x^2y)^2

Passo 3

Agora derivamos o lado direito da equação
x + x y^2
Pela soma e produto,
ddx(x)=1, ddx(x y^2)=1cdot y^2 + xcdot 2y,y' = y^2 + 2xy,y'
Portanto o lado direito fica
1 + y^2 + 2xy,y'

Passo 4

Igualando as duas derivadas, obtemos
2xy + x^2y'1 + x^4y^2 = 1 + y^2 + 2xy,y'
Multiplicamos ambos os lados por 1+x^4y^2:
2xy + x^2y' = (1+x^4y^2)l(1+y^2+2xy,y'r)

Passo 5

Expandindo o produto no lado direito:
2xy + x^2y' = (1+x^4y^2)(1+y^2) + (1+x^4y^2),2xy,y'
Isto é
2xy + x^2y' = 1 + y^2 + x^4y^2 + x^4y^4 + 2xy,y' + 2x^5y^3,y'

Passo 6

Agrupamos os termos com y' de um lado e os sem y' do outro:
x^2y' - 2xy,y' - 2x^5y^3,y' = 1 + y^2 + x^4y^2 + x^4y^4 - 2xy
Colocando y' em evidência:
y'l(x^2 - 2xy - 2x^5y^3r) = (1+x^4y^2)(1+y^2) - 2xy
Logo isolamos y':
y' = (1+x^4y^2)(1+y^2) - 2xy,x^2 - 2xy - 2x^5y^3,

Resposta

y' = (1+x^4y^2)(1+y^2) - 2xyx^2 - 2xy - 2x^5y^3

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