Calcular
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} 2 x}{x}.

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{x}.
Este é um problema de limites que usa o limite fundamental \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\sin(u)}{u}=1.

Passo 2

Para aproveitar o limite fundamental, reescrevemos a fração isolando \sin(2x) sobre 2x:
\frac{\sin(2x)}{x} = \frac{\sin(2x)}{2x}\,\cdot 2.

Passo 3

Fazendo a mudança de variável u=2x, quando x\to0 temos u\to0. Logo
\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x} = \lim_{u\to0}\frac{\sin(u)}{u} =1.
Portanto
\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{x} =1\cdot 2 =2.

Resposta

2

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