Calcular
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} 3 x}{\operatorname{sen} 4 x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{\sin(3x)}{\sin(4x)}.
O conteúdo principal é limites de funções trigonométricas e vamos usar o fato de que
\lim_{u\to0}\frac{\sin(u)}{u}=1.

Passo 2

Para aproveitar o limite padrão, escrevemos o quociente de modo a aparecer fatores do tipo \sin(u)/u:
\frac{\sin(3x)}{\sin(4x)} = \frac{\sin(3x)}{3x}\,\cdot\frac{3x}{4x}\,\cdot\frac{4x}{\sin(4x)}.

Passo 3

Tomando limite em x\to0, temos
\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{3x}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0}\frac{4x}{\sin(4x)}=1.
O fator \tfrac{3x}{4x} tende a \tfrac{3}{4}.

Passo 4

Multiplicando os resultados:
1 \times \frac{3}{4} \times 1 = \frac{3}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}

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