Determine o valor da área da superficie S que é a parte, no primeiro octante, do paraboloide
interior ao cilindro
.
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície
que é a parte, no primeiro octante, do paraboloide
interior ao cilindro
Para resolver, vamos usar a fórmula da área de superfície de uma função
sobre uma região
no plano
:
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Portanto, o integrando fica
Passo 3
No primeiro octante temos
,
e
. Da condição
segue
, ou seja
. Além disso estamos dentro de
.
Em coordenadas polares definimos
Em coordenadas polares definimos
com
e, por
, o ângulo varia em
.
Passo 4
Em polares temos
e
. Assim a área é
Passo 5
Calculemos a integral em
:
Use a substituição
,
, obtendo
Passo 6
Falta integrar em
de
a
:
Resposta
A área da superfície
é