Determine o valor da área da superficie S que é a parte, no primeiro octante, do paraboloide \mathrm{z}=\mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}^{2} interior ao cilindro \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície S que é a parte, no primeiro octante, do paraboloide
z = x^2 - y^2
interior ao cilindro
x^2 + y^2 = 1.
Para resolver, vamos usar a fórmula da área de superfície de uma função z=f(x,y) sobre uma região D no plano xy:
\text{Área}(S) \;=\; \iint_{D} \sqrt{1 + \bigl(f_x(x,y)\bigr)^2 + \bigl(f_y(x,y)\bigr)^2}\,dA.Á

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=x^2-y^2:
f_x = 2x, \quad f_y = -2y.
Portanto, o integrando fica
\sqrt{1 + (2x)^2 + (-2y)^2} \;=\; \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}.

Passo 3

No primeiro octante temos x\ge0, y\ge0 e z\ge0. Da condição z=x^2-y^2\ge0 segue x^2\ge y^2, ou seja y\le x. Além disso estamos dentro de x^2+y^2\le1.
Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta,
com 0\le r\le1 e, por 0\le y\le x, o ângulo varia em 0\le\theta\le\pi/4.

Passo 4

Em polares temos x^2+y^2=r^2 e dA = r\,dr\,d\theta. Assim a área é
\int_{\theta=0}^{\pi/4} \int_{r=0}^{1} \sqrt{1 + 4r^2}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calculemos a integral em r:
\int_{0}^{1} r\sqrt{1+4r^2}\,dr.
Use a substituição u=1+4r^2, du=8r\,dr, obtendo
\int_{u=1}^{5}\frac{\sqrt{u}}{8}\,du = \frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{1}^{5} = \frac{1}{12}\bigl(5^{3/2}-1\bigr).

Passo 6

Falta integrar em \theta de 0 a \pi/4:
\text{Área}(S) = \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{12}\bigl(5^{3/2}-1\bigr)\,d\theta = \frac{1}{12}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr)\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi\,(5\sqrt5-1)}{48}.Á

Resposta

A área da superfície S é
\frac{\pi\,(5\sqrt5-1)}{48}.

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