Determinar os seguintes limites fundamentais:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4^{x}-2^{x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to 0} \frac{4^{x}-2^{x}}{x}.
O conteúdo principal aqui é reconhecer que a^{x}=e^{x\ln a} e usar a expansão de Taylor de e^{u} em torno de u=0, ou então ver esse limite como a derivada em zero da função f(x)=4^{x}-2^{x}.

Passo 2

Reescrevemos as potências em termos da exponencial natural:
4^{x}=e^{x\ln 4}, \qquad 2^{x}=e^{x\ln 2}.

Passo 3

Para x muito pequeno, usamos a expansão
e^{u}=1+u+o(u)\quad(u\to0).
Aqui colocamos u_{1}=x\ln4 e u_{2}=x\ln2. Então
4^{x}=1 + x\ln4 + o(x), \qquad 2^{x}=1 + x\ln2 + o(x).
Subtraindo essas duas expansões no numerador:
4^{x}-2^{x} =\bigl(1 + x\ln4 + o(x)\bigr)-\bigl(1 + x\ln2 + o(x)\bigr) =x\bigl(\ln4-\ln2\bigr)+o(x).

Passo 4

Dividindo por x e fazendo x\to0, o termo o(x)/x some, sobrando
\lim_{x\to0}\frac{4^{x}-2^{x}}{x} =\ln4-\ln2.
Como \ln4=2\ln2, temos
\ln4-\ln2=2\ln2-\ln2=\ln2.

Resposta

\displaystyle \ln2

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