Considere a função f é contínua em (0,0) ? Justifique. f(x, y)=\left\{\begin{aligned} \frac{x^{2} y^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{aligned}\right. Passo 1O enunciado define a função f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}y^{3}}{x^{2}+y^{2}},& (x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases} e pergunta se f é contínua em (0,0). O conteúdo aqui é continuidade de função de duas variáveis, isto é, avaliar \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) e compará-lo a f(0,0). Passo 2Pela definição de continuidade em (0,0), precisamos verificar que \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0. Passo 3Para (x,y)\neq(0,0), temos \bigl|f(x,y)\bigr| =\left|\frac{x^{2}y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right| =\frac{x^{2}\,\bigl|y\bigr|^{3}}{x^{2}+y^{2}}. Como \dfrac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le1, segue que \bigl|f(x,y)\bigr|\le|y|^{3}. Passo 4Quando (x,y)\to(0,0), temos |y|^{3}\to0. Pelo confronto, \bigl|f(x,y)\bigr|\to0, ou seja, \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0. Passo 5Esse limite coincide com f(0,0)=0, portanto a condição de continuidade em (0,0) está satisfeita. Resposta f é contínua em (0,0). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDeterminar os seguintes limites fundamentais: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4^{x}-2^{x}}{x} Calcular \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} 3 x}{\operatorname{sen} 4 x}. Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y)=e^{2 x} \operatorname{sen}\left(x^{3}\right)+y^{2} Determine o que é pedido em cada item. Dada z=\ln \left(\frac{y}{x}\right), x=\cos \left(t^{3}\right), y=\operatorname{sen}(4 t), determine \frac{d z}{d t} usando a regra da cadeia.