Considere a função
f é contínua em (0,0) ? Justifique.
f(x, y)=\left\{\begin{aligned} \frac{x^{2} y^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}y^{3}}{x^{2}+y^{2}},& (x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pergunta se f é contínua em (0,0). O conteúdo aqui é continuidade de função de duas variáveis, isto é, avaliar \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) e compará-lo a f(0,0).

Passo 2

Pela definição de continuidade em (0,0), precisamos verificar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0.

Passo 3

Para (x,y)\neq(0,0), temos
\bigl|f(x,y)\bigr| =\left|\frac{x^{2}y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right| =\frac{x^{2}\,\bigl|y\bigr|^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
Como \dfrac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le1, segue que
\bigl|f(x,y)\bigr|\le|y|^{3}.

Passo 4

Quando (x,y)\to(0,0), temos |y|^{3}\to0. Pelo confronto,
\bigl|f(x,y)\bigr|\to0,
ou seja,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Passo 5

Esse limite coincide com f(0,0)=0, portanto a condição de continuidade em (0,0) está satisfeita.

Resposta

f é contínua em (0,0).

Exercícios relacionados