Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais dadas, nos pontos indicados
l(t sen(1 / t), cos t) t neq 0 (0,1), t=0 em t=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite e verificar se a função vetorial f(t) é contínua em t=0. A função é definida por:
f(t)= (t sin(1/t), cos t) & se t neq 0, (0,1) & se t = 0
Vamos precisar entender o conceito de limite para funções vetoriais e o que significa continuidade nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de f(t) quando t se aproxima de 0. Isso significa que precisamos encontrar os limites de cada componente da função vetorial separadamente.

Passo 3

Vamos calcular o limite da primeira componente: t sin(1/t).
Sabemos que |sin(1/t)| <= 1, então:
|t sin(1/t)| <= |t| cdot 1 = |t|
Quando t to 0, |t| to 0, então pelo teorema do sanduíche, limt to 0 t sin(1/t) = 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da segunda componente: cos t.
Sabemos que limt to 0 cos t = cos 0 = 1, já que a função cosseno é contínua.

Passo 5

Então, o limite da função vetorial f(t) quando t to 0 é:
limt to 0 f(t) = (0, 1)

Passo 6

Agora, vamos verificar a continuidade em t=0. Para a função ser contínua em t=0, o limite quando t to 0 deve ser igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 7

Vendo que f(0) = (0,1) e o limite limt to 0 f(t) = (0,1), concluímos que a função é contínua em t=0.

Resposta

limt to 0 f(t) = (0,1)
A função f(t) é contínua em t=0.

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