Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais dadas, nos pontos indicados
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite e verificar se a função vetorial
é contínua em
. A função é definida por:
Vamos precisar entender o conceito de limite para funções vetoriais e o que significa continuidade nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Isso significa que precisamos encontrar os limites de cada componente da função vetorial separadamente.
Passo 3
Vamos calcular o limite da primeira componente:
.
Sabemos que , então:
Sabemos que
Quando
,
, então pelo teorema do sanduíche,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da segunda componente:
.
Sabemos que , já que a função cosseno é contínua.
Sabemos que
Passo 5
Então, o limite da função vetorial
quando
é:
Passo 6
Agora, vamos verificar a continuidade em
. Para a função ser contínua em
, o limite quando
deve ser igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 7
Vendo que
e o limite
, concluímos que a função é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em
.