Calcular os limites das seguintes funções vetoriais de uma variável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite de uma função vetorial quando $ t $ se aproxima de 0. A função que temos é:
Vamos usar conceitos de cálculo de limites e séries de Taylor para resolver cada componente dessa função vetorial.
Passo 2
Vamos começar com a primeira componente do vetor: $ \frac{1 - \cos 5t}{t^{2}} $.
Sabemos que para valores pequenos de $ x $, a expressão $ 1 - \cos x $ pode ser aproximada por $ \frac{x^{2}}{2} $. Isso vem da expansão da série de Taylor da função cosseno.
Aplicando isso, temos:
Então, substituindo na fração:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente: $ \frac{\sqrt{1 + t \sin t} - 1}{t^{2}} $.
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Sabemos que para valores pequenos de $ t $, $ \sin t \approx t $. Então:
Agora, temos:
Para expandir a raiz, usamos a série de Taylor para $ \sqrt{1 + x} $, que é $ 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} + \dots $.
Aplicando isso com $ x = t^{2} $:
Subtraindo 1:
Agora, substituindo de volta na fração original:
Quando $ t $ se aproxima de 0, o termo $ \frac{t^{2}}{8} $ tende a 0, então:
Resposta
O limite da função vetorial é $ \left( \frac{25}{2}, \frac{1}{2} \right) $.