Esboce a região R e encontre sua área:

Passo 1

A questão pede para esboçar e calcular a área da região R definida por as desigualdades x^2 - 1 <= y <= 0. O conteúdo é cálculo de área de região plana usando integração de uma função de uma única variável, e vamos precisar identificar as curvas limites, seus pontos de interseção e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, encontramos as interseções das curvas y = x^2 - 1 e y = 0 resolvendo x^2 - 1 = 0. Isso dá x = pm1. Logo, a região em x vai de -1 a 1.

Passo 3

Para esboçar, note que y = x^2 - 1 é uma parábola com vértice em (0,-1) e concavidade para cima, e y = 0 é o eixo x. A região R fica entre a parábola e o eixo x, limitada lateralmente por x=-1 e x=1.

Passo 4

Para calcular a área, usamos que a área de uma região entre duas curvas y = f(x) (inferior) e y = g(x) (superior) de x=a a x=b é
A = integrala^b l(g(x) - f(x)r),dx
Aqui g(x)=0 e f(x)=x^2-1, com a=-1 e b=1. Então
A = integral-1^1 l(0 - (x^2 - 1)r),dx = integral-1^1 (1 - x^2),dx

Passo 5

Agora basta avaliar a integral:
integral-1^1 (1 - x^2),dx = l[x - x^33r]-1^1 = l(1 - tfrac13r) - l(-1 + tfrac13r) = 2 - tfrac23 = tfrac43

Resposta

tfrac43

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