CALCULAR OS LiMitec:
lim substackx 0 y 0 1-cos xx y sen x ln (1+y)

Passo 1

A gente quer o limite de uma função de duas variáveis quando xto0 e yto0:
O conteúdo aqui é limites de funções de várias variáveis e limites de funções elementares ( ln, cos, sin). Vamos usar propriedades de limites e limites clássicos.

Passo 2

Reescrevendo a expressão, note que dá para separar os fatores em termos de x e y:
[
\frac{1-\cos x}{x,y,\sin x},\ln(1+y)
=\underbrace{\frac{1-\cos x}{x,\sin x}}{depende só dex};\times;
\underbrace{\frac{\ln(1+y)}{y}}
{depende só dey}.

Passo 3

Agora calculamos cada parte separadamente. Primeiro, o limite em y:
limyto0ln(1+y)y=1
esse é um limite clássico de ln.
Em seguida, o limite em x: usamos a identidade 1-cos x=2sin^2(x/2).
1-cos xx,sin x =2;sin^2(x/2)x,sin x =2;sin(x/2)x/2;sin(x/2)sin x;(x/2)x

Passo 4

Sabendo que limtto0 sin tt=1 e limxto0sin(x/2)sin x=limxto0sin(x/2)x/2cdotxsin xcdot12=tfrac12, obtemos
limxto01-cos xx,sin x =2times1timestfrac12timestfrac12 =tfrac12

Passo 5

Por fim, o limite total é o produto dos dois limites parciais, isto é
tfrac12times1=tfrac12 .

Resposta

tfrac12

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