Calcular os limites abaixo, justificando. Se necessário resolva as indeterminações.
lim x 1 3 x^3-4 x^2-x+22 x^3-3 x^2+1

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite limxto1 3x^3-4x^2 -x+22x^3-3x^2+1. Esse é um caso de limite de função racional e, ao substituir diretamente x=1, podemos ter indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar fatoração de polinômios, aplicando divisão sintética e teorema do resto.

Passo 2

Substituindo x=1 no numerador temos 3-4-1+2=0 e no denominador 2-3+1=0. Logo há indeterminação 0/0 e precisamos fatorar numerador e denominador para eliminar o fator que anula ambos.

Passo 3

Para fatorar o numerador 3x^3-4x^2-x+2, fazemos divisão sintética por x-1. Os coeficientes são 3, -4, -1, 2; dividindo por 1 obtemos quociente 3x^2 -x -2 e resto zero. Como 3x^2-x-2 também se anula em x=1, fatoramos novamente: das raízes x=1 e x=-2/3 vem 3x^2-x-2=(x-1)(3x+2). Portanto, o numerador se escreve (x-1)^2(3x+2).

Passo 4

Para fatorar o denominador 2x^3-3x^2+1, usamos divisão sintética por x-1 com coeficientes 2,-3,0,1. O quociente é 2x^2-x-1 e resto zero. As raízes de 2x^2-x-1 são x=1 e x=-tfrac12, gerando 2x^2-x-1=(x-1)(2x+1). Assim, o denominador fica (x-1)^2(2x+1).

Passo 5

Cancelando o fator comum (x-1)^2 na fração, obtemos a função equivalente sem indeterminação: 3x+22x+1 para xneq1.

Passo 6

Basta agora calcular o limite da expressão simplificada por substituição direta: 3cdot1+22cdot1+1=53.

Resposta

\frac{5}{3}

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