Considere a função dada por:
f(x)=c x^2, se x<2 0, se x=2 -x+6, se x>2
Determine:
A função é contínua em todos os pontos? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes e pede para verificar se ela é contínua em todos os pontos. O conteúdo envolvido é a definição de continuidade de funções reais: polinômios e funções lineares são contínuas em todo ponto do domínio, e só precisamos checar a continuidade no ponto de união das partes, que é x=2.

Passo 2

Para x<2, temos f(x)=x². Como polinômios são contínuos em todo ℝ, f é contínua em cada ponto de (-∞,2). Para x>2, temos f(x)=−x+6. Funções lineares também são contínuas em todo ℝ, logo f é contínua em cada ponto de (2,∞).

Passo 3

Agora avaliamos a continuidade em x=2. Pela definição, f é contínua em 2 se e somente se
limxto2f(x)=f(2)
Vamos calcular os limites laterais:
limxto2^-f(x)=limxto2^-x^2=4,
limxto2^+f(x)=limxto2^+(-x+6)=4
Como ambos os limites laterais existem e valem 4, temos limxto2f(x)=4. Mas o valor da função em 2 é f(2)=0.

Passo 4

Como limxto2f(x)=4 difere de f(2)=0, concluímos que f não é contínua em x=2. Portanto, f é contínua em todos os pontos exceto em x=2.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos de ℝ, exceto em x=2, pois nesse ponto o limite é 4 enquanto f(2)=0, violando a definição de continuidade.

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