Calcular os limites abaixo (mostrar seus cálculos completos):
1.1. \lim _{\substack{x \rightarrow 4 \\\ y \rightarrow 1}} \frac{y \sqrt{x}-2 y-\sqrt{x}+2}{4-x+x \sqrt{y}-4 \sqrt{y}}
(A) \frac{1}{2}
(B) \frac{3}{2}
(C) \frac{1}{3}
(D) \frac{3}{4}
(E) -\frac{1}{4}
1.2. \lim _{\substack{x \rightarrow 3 \\\ y \rightarrow 5}} \frac{x^{3}+x^{2} y-3 x y-3 x+9-3 x^{2}}{x y+4 x-3 y-12}
(A) \frac{5}{3}
(B) \frac{7}{3}
(C) -\frac{3}{2}
(D) \frac{3}{2}
(E) \frac{3}{5}

Passo 1

O enunciado pede dois limites de funções de duas variáveis em pontos onde a forma é \tfrac{0}{0}, então vamos identificar essa indeterminação e usar fatoração para simplificar cada fração antes de avaliar o limite.

Passo 2

Para o primeiro limite
\lim_{\substack{x\to4\y\to1}} \frac{y\sqrt{x}-2y-\sqrt{x}+2}{4-x+x\sqrt{y}-4\sqrt{y}},
substituindo (x,y)=(4,1) vemos que o numerador e o denominador valem zero, ou seja, dá indeterminação \tfrac{0}{0}. Vamos fatorar o numerador:
y\sqrt{x}-2y-\sqrt{x}+2 =\sqrt{x}(y-1)-2(y-1) =(y-1)(\sqrt{x}-2).

Passo 3

Agora fatoramos o denominador
4-x+x\sqrt{y}-4\sqrt{y} =(4-x)+(x-4)\sqrt{y} =-(x-4)+(x-4)\sqrt{y} =(x-4)(\sqrt{y}-1).
Assim a fração original fica
\frac{(y-1)(\sqrt{x}-2)}{(x-4)(\sqrt{y}-1)}.
Note que y-1=(\sqrt{y}-1)(\sqrt{y}+1) e x-4=(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2), logo
\frac{(y-1)(\sqrt{x}-2)}{(x-4)(\sqrt{y}-1)} =\frac{(\sqrt{y}-1)(\sqrt{y}+1)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)(\sqrt{y}-1)} =\frac{\sqrt{y}+1}{\sqrt{x}+2}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite simplificado em (x,y)\to(4,1):
\frac{\sqrt{1}+1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1+1}{2+2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Para o segundo limite
\lim_{\substack{x\to3\y\to5}} \frac{x^{3}+x^{2}y-3xy-3x+9-3x^{2}}{xy+4x-3y-12},
substituindo (3,5) dá de novo \tfrac{0}{0}. Primeiro fatoramos o numerador agrupando em x-3:
x^{3}-3x^{2}+x^{2}y-3xy-3x+9 =x^{2}(x-3)+xy(x-3)-3(x-3) =(x-3)(x^{2}+xy-3).

Passo 6

Em seguida fatoramos o denominador:
xy+4x-3y-12 =y(x-3)+4(x-3) =(x-3)(y+4).
Então a fração vira
\frac{(x-3)(x^{2}+xy-3)}{(x-3)(y+4)} =\frac{x^{2}+xy-3}{y+4}.

Passo 7

Avaliando em (x,y)\to(3,5):
\frac{3^{2}+3\cdot5-3}{5+4} =\frac{9+15-3}{9} =\frac{21}{9} =\frac{7}{3}.

Resposta

1.1. (A) \frac{1}{2}
1.2. (B) \frac{7}{3}

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