• Quando o efeito da resistencia do ar é levado em conta, a aceleração da de um objeto em queda é descrito pela equação a=g e^{-b t}, onde g é a aceleração da gravidade e b=0,5 \mathrm{~s}^{-1} e t é o tempo medido desde o lançamento a) Calcule a velocidade e o deslocamento em função do tempo. b) Quanto tempo demora o objeto em percorrer 50 m ?. c) Compare com o tempo que demora em percorrar 50 m sem resistência do ar.

Passo 1

O enunciado descreve a queda de um objeto sob resistência do ar cuja aceleração varia segundo
a(t)=g\,e^{-b\,t},
com g a aceleração da gravidade e b=0,5\\ \mathrm{s^{-1}}. Precisamos:
• (a) obter a velocidade v(t) e o deslocamento x(t) integrando sucessivamente a(t);
• (b) determinar o tempo t tal que x(t)=50\\ \mathrm{m};
• (c) comparar com o caso sem resistência, em que x=\tfrac12\,g\,t^2.

Passo 2

Para achar v(t) integramos a(t) e usamos v(0)=0:
v(t)=\int_0^t g\,e^{-b\,\tau}\,d\tau =g\left[-\frac{1}{b}e^{-b\,\tau}\right]_0^t =\frac{g}{b}\bigl(1-e^{-b\,t}\bigr).

Passo 3

Para obter x(t) integramos v(t) com x(0)=0:
x(t)=\int_0^t \frac{g}{b}\bigl(1-e^{-b\,\tau}\bigr)\,d\tau =\frac{g}{b}\Bigl[t+\frac{1}{b}e^{-b\,t}-\frac{1}{b}\Bigr] =\frac{g}{b}\,t-\frac{g}{b^2}\bigl(1-e^{-b\,t}\bigr).

Passo 4

Para x(t)=50\\ \mathrm{m} montamos a equação
\frac{g}{b}\,t-\frac{g}{b^2}\bigl(1-e^{-b\,t}\bigr)=50.
Tomando g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} e b=0,5\\ \mathrm{s^{-1}}, isso vira
19{,}6\,t-39{,}2\bigl(1-e^{-0,5\,t}\bigr)=50.
Resolvendo numericamente por tentativa (ou método de Newton) encontra-se
t\approx4{,}32\\ \mathrm{s}.

Passo 5

No caso sem resistência o deslocamento é
x=\tfrac12\,g\,t^2=50 \quad\Longrightarrow\quad t=\sqrt{\frac{2\cdot50}{9{,}8}}\approx3{,}19\\ \mathrm{s}.
Portanto, com resistência o objeto leva cerca de 4{,}32\\ \mathrm{s}, contra 3{,}19\\ \mathrm{s} sem resistência.

Resposta

(a) \displaystyle v(t)=\frac{g}{b}\bigl(1-e^{-b\,t}\bigr),
\displaystyle x(t)=\frac{g}{b}\,t-\frac{g}{b^2}\bigl(1-e^{-b\,t}\bigr).
(b) t\approx4{,}32\\ \mathrm{s}.
(c) Sem resistência: t\approx3{,}19\\ \mathrm{s}; a resistência aumenta o tempo em cerca de 1{,}13\\ \mathrm{s}.

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