Seja a função z=y e^{x+y}, determine a equação do plano tangente no ponto P(2,3, f(2,3)) (não mostrar cálculos):
(A) z=e^{5}(4 x-3 y+15)
(B) z=e^{5}(4 x+2 y-15)
(C) z=e^{5}(4 x-3 y-10)
(D) z=e^{5}(3 x+4 y-15)
(E) z=e^{5}(3 x+2 y-10)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y) = y\,e^{\,x+y}
e pede a equação do plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) no ponto
P(2,3,f(2,3)).
Para isso precisamos calcular as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y e avaliar em P.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
f_x(x,y) = y\,e^{\,x+y}, \quad f_y(x,y) = (1+y)\,e^{\,x+y}.
Avaliando em (2,3):
f_x(2,3) = 3\,e^5, \quad f_y(2,3) = 4\,e^5, \quad f(2,3) = 3\,e^5.

Passo 3

A equação do plano tangente fica
z = f(2,3) + f_x(2,3)\,(x-2) + f_y(2,3)\,(y-3).
Substituindo os valores:
z = 3e^5 + 3e^5\,(x-2) + 4e^5\,(y-3).

Passo 4

Expandindo e fatorando e^5:
z = 3e^5 x -6e^5 +4e^5 y -12e^5 +3e^5 = e^5\bigl(3x +4y -15\bigr).

Resposta

(D) z = e^{5}(3x + 4y - 15)

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