Calcular os limites abaixo, usando as propriedades dos limites:
lim x 0 e^-a x-e^-b xx

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0dfrace^-a x-e^-b xx, usando propriedades de limites e conhecimentos sobre funções exponenciais.

Passo 2

Vamos usar a propriedade de que o limite de uma diferença é a diferença dos limites, desde que existam. Assim podemos escrever
e^-a x-e^-b xx=e^-a x-1x-e^-b x-1x

Passo 3

Em seguida aplicamos o limite separadamente a cada termo:
$$\lim_{x\to0}\frac{e^{-a x}-1}{x}-\lim_{x\to0}\frac{e^{-b x}-1}{x}.
$$

Passo 4

Lembrando a identidade fundamental de limites de exponenciais:
limxto0e^c x-1x=c,
onde, no nosso caso, em um termo c=-a e no outro c=-b.

Passo 5

Substituindo os valores de c obtemos
(-a)-(-b)=b-a

Passo 6

Portanto, o limite desejado é a diferença b-a.

Resposta

b-a

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