Uma partícula de massa
desloca-se sobre o eixo
sob a ação da força resultante
. Sabe-se que
e
.
Em que posição
é mínimo?
Em que posição
Passo 1
O enunciado diz que uma partícula de massa m=2 move-se no eixo x sob a força F(x)=−3x i, com x(0)=1 e v(0)=0. O conteúdo é conservação de energia mecânica para uma força conservativa (F derivada de um potencial). Vamos precisar usar energia mecânica e relacionar v e x.
Passo 2
Para forças conservativas temos energia mecânica constante: ½mv²+U(x)=E. Aqui F(x)=−dU/dx = −3x, logo U(x)=∫3x dx = (3/2)x² + constante. Podemos escolher U(1) como referência, mas o valor absoluto da constante cai ao fazer diferenças.
No instante inicial t=0, v(0)=0 e x(0)=1. Então a energia total E é
No instante inicial t=0, v(0)=0 e x(0)=1. Então a energia total E é
Passo 3
Em qualquer posição x, a energia cinética é K=E−U(x). Como K=½mv² e m=2 temos v² = K = E−(3/2)x². Substituindo E,
Passo 4
Portanto a velocidade em módulo é
Passo 5
Para encontrar onde |v| é mínimo, basta ver que a raiz é mínima quando o fator (1−x²) é mínimo. No intervalo acessível o máximo de x² ocorre em x=±1. Assim |v| atinge seu valor mínimo zero nas posições x=1 e x=−1.
Resposta
|v| é mínimo (igual a zero) em x = ±1.