Calcular os limites abaixo, usando as propriedades dos limites:
lim x infty(1+2x)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxtoinftyl(1+tfrac2xr)^x. Esse problema faz parte de limites exponenciais e vai requerer o uso de logaritmo para tratar a indeterminação, além da regra de l’Hôpital.

Passo 2

Observe que a expressão tem a forma de indeterminação 1^infty. Para contornar isso, definimos
L = limxtoinftyl(1+tfrac2xr)^x
e depois aplicamos o logaritmo natural:

Passo 3

Reescrevemos
ln L = limxtoinfty xlnl(1+tfrac2xr)
para converter o problema numa forma de quociente que podemos usar com l’Hôpital:

Passo 4

Colocamos como quociente
ln L = limxtoinftylnl(1+tfrac2xr)1/x
Agora aplicamos a regra de l’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a x:
  • Derivada do numerador: ddxln(1+2/x)=11+2/xcdot(-2/x^2).
  • Derivada do denominador: ddx(1/x)=-1/x^2.
    O quociente das deriva­das é
-tfrac2x^2(1+2/x)-1/x^2 = 21+2/x
que tende a 2 quando xtoinfty.

Passo 5

Chegamos a
ln L = 2
e, portanto, exponenciando,
L = e^2

Resposta

e^2

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