Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada
ointC x^2 y^2 d x+4 x y^3 d y
onde C é o triângulo com vértices (0,0),(1,3) e (0,3) orientado positivamente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! A gente precisa usar o Teorema de Green para calcular uma integral de linha ao longo de uma curva específica. A integral que temos é:
ointC x^2 y^2 , dx + 4x y^3 , dy
Aqui, a curva $ C $ é um triângulo com os vértices nos pontos C , (0,0) e (1,3), e está orientada positivamente (ou seja, no sentido anti-horário). Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada $ C $ com uma integral dupla sobre a região $ D $ que está dentro dessa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
C
No nosso caso, temos $ P = x^{2} y^{2} $ e $ Q = 4x y^{3} $. Vamos identificar as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de $ Q $ em relação a $ x $ e de $ P $ em relação a $ y $:
Q
x
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
P

Passo 4

Agora precisamos descrever a região $ D $ que é o triângulo com vértices em D , (0,0) e (1,3). Para configurar a integral dupla, vamos determinar os limites de integração.
Observando os vértices, vemos que $ x $ varia de 0 a 1. Para cada valor de $ x $, $ y $ varia de 0 até 3 (já que o triângulo vai de $ y = 0 $ até $ y = 3 $).
Então, a integral dupla fica:
(0,3)

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar em relação a $ y $:
y
Integrando termo a termo:
integral0^3 ( 4 y^3 - 2 x^2 y ) dy
integral 4 y^3 dy = 4 cdot y^44 = y^4
Então, avaliando de 0 a 3:
integral -2 x^2 y , dy = -2 x^2 cdot y^22 = -x^2 y^2

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral externa e resolvemos em relação a $ x $:
x
Integrando termo a termo:
integral0^1 (81 - 9 x^2) dx
integral 81 , dx = 81 x
Avaliando de 0 a 1:
integral -9 x^2 , dx = -9 cdot x^33 = -3 x^3

Resposta

A integral de linha dada é igual a 78.

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