Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada
onde
é o triângulo com vértices
e
orientado positivamente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! A gente precisa usar o Teorema de Green para calcular uma integral de linha ao longo de uma curva específica. A integral que temos é:
Aqui, a curva $ C $ é um triângulo com os vértices nos pontos
,
e
, e está orientada positivamente (ou seja, no sentido anti-horário). Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada $ C $ com uma integral dupla sobre a região $ D $ que está dentro dessa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, temos $ P = x^{2} y^{2} $ e $ Q = 4x y^{3} $. Vamos identificar as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ Q $ em relação a $ x $ e de $ P $ em relação a $ y $:
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Agora precisamos descrever a região $ D $ que é o triângulo com vértices em
,
e
. Para configurar a integral dupla, vamos determinar os limites de integração.
Observando os vértices, vemos que $ x $ varia de 0 a 1. Para cada valor de $ x $, $ y $ varia de 0 até 3 (já que o triângulo vai de $ y = 0 $ até $ y = 3 $).
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar em relação a $ y $:
Integrando termo a termo:
Então, avaliando de 0 a 3:
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na integral externa e resolvemos em relação a $ x $:
Integrando termo a termo:
Avaliando de 0 a 1:
Resposta
A integral de linha dada é igual a 78.