Calcular os limites abaixo, usando as propriedades dos limites:
lim x infty(1+13 x)^2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxtoinftyl(1+tfrac13xr)^2x, que apresenta a forma indeterminada 1^infty. Vamos aplicar propriedades de limites e o limite fundamental que define e.

Passo 2

Observamos que, quando xtoinfty, temos tfrac13xto0, de modo que a base tende a 1 e o expoente a +infty, caracterizando 1^infty. Para resolver, fazemos a substituição t = tfrac13x, que implica tto0^+ conforme xtoinfty.
Com t = tfrac13x, podemos reescrever o expoente: como x = tfrac13t, temos 2x = tfrac23t. Assim, a expressão fica (1 + t)^2/(3t).

Passo 3

Precisamos usar o limite fundamental
limtto0(1 + t)^1/t = e
Reescrevendo a potência de forma a evidenciar esse limite, obtemos:
(1 + t)^23t = l[(1 + t)^1/tr]^tfrac23

Passo 4

Aplicando o limite, como (1+t)^1/tto e quando tto0, concluímos que
limxtoinftyl(1+tfrac13xr)^2x = e^2/3

Resposta

e^2/3

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