Calcular os limites abaixo, usando as propriedades dos limites:
lim x 2 xx^2-4

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto2xx^2-4. O conteúdo envolvido é limite de função racional, e vamos precisar usar a fatoração de uma diferença de quadrados e analisar limites infinitos.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador usando a identidade a^2-b^2=(a-b)(a+b):
x^2-4=(x-2)(x+2)
Portanto a expressão fica
xx^2-4=x(x-2)(x+2)

Passo 3

Para entender o comportamento quando xto2, note que x+2to4>0. A singularidade vem de (x-2) no denominador, que muda de sinal ao passar por 2. Assim:
• Para xto2^+, temos x-2>0 e o numerador xapprox2>0, logo
x(x-2)(x+2)to+infty
• Para xto2^-, temos x-2<0 e numerador xapprox2>0, logo
x(x-2)(x+2)to-infty
Como os limites laterais são diferentes (um vai a -infty e outro a +infty), o limite bilateral não existe em valor finito.

Resposta

O limite não existe (diverge), com
limxto2^-xx^2-4=-infty, limxto2^+xx^2-4=+infty

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