Problema 12: Se a for uma constante positiva. Então vale
Lf(t-a) U(t-a)=e^-a s F(s),
em que F(s)=Lf(t). Aplique esse resultado e calcule:
L(t-2)^2 U(t-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace de $ (t-2)^{2} \mathcal{U}(t-2) $. Para isso, vamos usar uma propriedade importante das transformadas de Laplace que envolve funções retardadas (ou “shifted”) e a função degrau unitário $ \mathcal{U}(t-a) $. Basicamente, essa propriedade nos ajuda a lidar com funções que começam em um tempo específico, diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a propriedade que foi mencionada no enunciado:
Lf(t-a) U(t-a) = e^-a s F(s),
onde $ F(s) = \mathcal{L}{f(t)} $. Essa fórmula nos diz que se a gente tem uma função $ f(t) $ que começa no tempo $ a $, multiplicada pelo degrau unitário $ \mathcal{U}(t-a) $, a transformada de Laplace dessa função é $ e^{-a s} $ vezes a transformada de Laplace original $ F(s) $.

Passo 3

Agora, vamos identificar $ f(t) $ e $ a $ no nosso problema. No nosso caso, temos:
f(t)
Portanto, $ f(t) = t^{2} $. Nosso objetivo agora é encontrar $ F(s) = \mathcal{L}{f(t)} = \mathcal{L}{t^{2}} $.

Passo 4

Vamos calcular $ F(s) = \mathcal{L}{t^{2}} $. A transformada de Laplace de $ t^{n} $ é uma fórmula padrão:
F(s) = Lt^2
Para $ n = 2 $:
t^n
Então, $ F(s) = \frac{2}{s^{3}} $.

Passo 5

Agora, voltando à propriedade original, substituímos os valores que encontramos:
L(t-2)^2 U(t-2) = e^-2 s cdot 2s^3

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace de $ (t-2)^{2} \mathcal{U}(t-2) $ é:
(t-2)^2 U(t-2)

Exercícios relacionados