Problema 12: Se
for uma constante positiva. Então vale
em que
. Aplique esse resultado e calcule:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace de $ (t-2)^{2} \mathcal{U}(t-2) $. Para isso, vamos usar uma propriedade importante das transformadas de Laplace que envolve funções retardadas (ou “shifted”) e a função degrau unitário $ \mathcal{U}(t-a) $. Basicamente, essa propriedade nos ajuda a lidar com funções que começam em um tempo específico, diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a propriedade que foi mencionada no enunciado:
onde $ F(s) = \mathcal{L}{f(t)} $. Essa fórmula nos diz que se a gente tem uma função $ f(t) $ que começa no tempo $ a $, multiplicada pelo degrau unitário $ \mathcal{U}(t-a) $, a transformada de Laplace dessa função é $ e^{-a s} $ vezes a transformada de Laplace original $ F(s) $.
Passo 3
Agora, vamos identificar $ f(t) $ e $ a $ no nosso problema. No nosso caso, temos:
Portanto, $ f(t) = t^{2} $. Nosso objetivo agora é encontrar $ F(s) = \mathcal{L}{f(t)} = \mathcal{L}{t^{2}} $.
Passo 4
Vamos calcular $ F(s) = \mathcal{L}{t^{2}} $. A transformada de Laplace de $ t^{n} $ é uma fórmula padrão:
Para $ n = 2 $:
Então, $ F(s) = \frac{2}{s^{3}} $.
Passo 5
Agora, voltando à propriedade original, substituímos os valores que encontramos:
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace de $ (t-2)^{2} \mathcal{U}(t-2) $ é: