Calcular os limites. Caso não exista, justifique.
d) lim (x, y) (0,0) y^2 xx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da função de duas variáveis f(x,y)=y^2xx^2+y^2 quando (x,y)to(0,0). O tópico é limites em R^2 e vamos usar tanto análise por caminhos quanto o teorema do confronto.

Passo 2

Uma maneira rápida é testar caminhos lineares, isto é, tomar y=mx. Substituindo,
f(x,mx)=(mx)^2,xx^2+(mx)^2=m^2x^3(1+m^2)x^2=m^2x1+m^2
Como xto0, esse quociente vai a zero para todo m. Isso mostra que ao longo de qualquer reta o limite é zero.

Passo 3

Para garantir que o limite existe de fato (e não dependa do caminho), vamos usar o teorema do confronto. Note que
gl|y^2xx^2+y^2gr|=y^2|x|x^2+y^2
Como |x|<=raizx^2+y^2 e y^2<= x^2+y^2, temos
y^2|x|x^2+y^2<=(x^2+y^2)raizx^2+y^2x^2+y^2=raizx^2+y^2
E raizx^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0). Pelo confronto, f(x,y)to0.

Resposta

0

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