Resolva as seguintes EDOs
  1. x y^prime-y=x-1, x>0
  2. x y^prime+y-e^x=0, x>0
  3. y^prime-y=-e^x

Passo 1

Temos três equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e lineares. Para cada uma vamos usar o método do fator integrante, isto é: reescrever na forma padrão y'+P(x)y=Q(x), calcular mu(x)=e^integral P(x),dx, multiplicar tudo por mu(x) para obter uma derivada exata e, por fim, integrar.

Passo 2

Para a equação x y'-y = x-1 com x>0, dividimos por x para ter a forma y'-tfrac1x y=tfracx-1x. O fator integrante é
mu(x)=e^integral -1x,dx=e^-ln x=x^-1
Multiplicando:
x^-1y' - x^-2y=x-1x^2,
reconhecemos tfracddx(x^-1y)=x-1x^2. Integrando:
x^-1y=integrall(1x-1x^2r)dx=ln x+1x+C1
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y=xln x+1+C1x

Passo 3

Para x y'+y-e^x=0 com x>0, escrevemos y'+tfrac1x y=tfrace^xx. O fator integrante é mu(x)=e^integral1/x,dx=x. Multiplicando:
x y'+y=e^x
que é tfracddx(x y)=e^x. Integrando:
x y=integral e^x dx=e^x+C2
resultando em
y=e^xx+C2x

Passo 4

Para y'-y=-e^x, temos P(x)=-1, Q(x)=-e^x e o fator integrante
mu(x)=e^integral -1,dx=e^-x
Multiplicando:
e^-xy' - e^-xy=-1
que é tfracddx(e^-xy)=-1. Integrando:
e^-xy=-x+C3
e assim
y=-x e^x+C3e^x

Resposta

As soluções gerais são:
Para (1): y=xln x+1+C1x.
Para (2): y=e^xx+C2x.
Para (3): y=-x e^x+C3e^x, onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

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