Verifique se as seguintes funções são solução (em R ) das equações diferenciais dadas:
  1. y=sen x-1+e^-sen x
    EDO: d yd x+y cos x=12 sen(2 x) ;
  2. y=C x-C^2(C in R)
    EDO: (y^prime)^2-x y^prime+y=0.

Passo 1

O enunciado pede para testar se duas funções satisfazem suas respectivas EDOs em ℝ. Na primeira, vamos precisar derivar $y=\sin x-1+e^{-\sin x}$ e substituir em \y’+y\cos x=\tfrac12\sin(2x)\. Na segunda, derivamos \y=Cx-C^2\ e substituímos em \(y’)^2 - x y’ + y = 0\.

Passo 2

Para $y=\sin x-1+e^{-\sin x}$, calculamos a derivada:
$$
\frac{dy}{dx}=\cos x - e^{-\sin x}\cos x.
$$
Substituindo na EDO:
$$
\frac{dy}{dx}+y\cos x=\bigl(\cos x - e^{-\sin x}\cos x\bigr)+(\sin x-1+e^{-\sin x})\cos x=\sin x\cos x=\tfrac12\sin(2x).
$$
Logo, a igualdade se verifica e a função é solução.

Passo 3

Para $y=Cx-C^2$ com constante real C, temos \y’=C\. Substituindo em \(y’)^2 - x y’ + y\:
$$
C^2 - xC + (Cx - C^2)=0.
$$
Como a expressão se anula identicamente, qualquer função da forma \y=Cx-C^2\ é solução da EDO.

Resposta

  1. Sim, \y=\sin x-1+e^{-\sin x}\ satisfaz a EDO. 2. Sim, \y=Cx-C^2\ satisfaz a EDO para todo C∈ℝ.

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