Calcular os limites. Caso não exista, justifique.
e) lim (x, y) (-1,2) y^2 xx^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função racional de duas variáveis quando $x,y)\ se aproxima de \((-1,2)$. O conteúdo é limites em $,\mathbb{R}^2$ e vamos usar a propriedade de continuidade de funções racionais sempre que o denominador no ponto não for zero.

Passo 2

Calculamos o denominador no ponto dado substituindo $x=-1$ e $y=2$:
$ x=-1
Como $-3$ é diferente de zero, não há indeterminação e a função é contínua naquele ponto.

Passo 3

Por continuidade, o limite é igual ao valor da função em $(-1,2)$. Substituímos no numerador:
$ (-1,2)
Assim o valor da função no ponto é y^2 x = 2^2 cdot (-1) = 4 cdot (-1) = -4.

Passo 4

Simplificando a fração obtemos , portanto o limite existe e vale .

Resposta

$\tfrac{4}{3}$

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