Calcule a área da superfície
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Passo 1
Beleza, vamos calcular a área da superfície definida por $ S = \left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x{2}+y{2} \leq 2, \ z = x{2}-y{2}\right} $. Aqui, estamos lidando com cálculo de áreas de superfícies em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da área de uma superfície dada por uma função $ z = f(x, y) $ sobre uma região $ D $ no plano $ xy $.
Passo 2
Primeiro, identificamos a função que define a superfície: $ z = f(x, y) = x^{2} - y^{2} $. A região $ D $ sobre a qual vamos calcular a área é o conjunto de pontos $ (x, y) $ que satisfazem $ x^{2} + y^{2} \leq 2 $, ou seja, um círculo de raio $ \sqrt{2} $ centrado na origem.
Passo 3
A fórmula para a área $ A $ da superfície $ S $ é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, inserir na fórmula e integrar sobre a região $ D $.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais:
Agora, elevamos ao quadrado essas derivadas:
Passo 5
Substituímos esses resultados na fórmula da área:
Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas polares, já que a região $ D $ é um círculo.
Passo 6
Em coordenadas polares, temos:
E a inequação $ x^{2} + y^{2} \leq 2 $ se transforma em $ r^{2} \leq 2 $, ou seja, $ 0 \leq r \leq \sqrt{2} $, e $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.
Passo 7
Substituindo tudo na integral, temos:
Agora, vamos resolver a integral interna em $ r $.
Passo 8
Vamos resolver a integral:
Fazemos uma substituição $ u = 1 + 4r^{2} $, então $ du = 8r , dr $ ou $ r , dr = \frac{du}{8} $.
Quando $ r = 0 $, $ u = 1 $, e quando $ r = \sqrt{2} $, $ u = 1 + 4 \cdot 2 = 9 $.
Passo 9
A integral fica:
Passo 10
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
A área da superfície $ S $ é $ \frac{13}{3} \pi $ unidades de área.