Calcule a área da superfície S=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2 <= 2, z=x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área da superfície definida por $ S = \left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x{2}+y{2} \leq 2, \ z = x{2}-y{2}\right} $. Aqui, estamos lidando com cálculo de áreas de superfícies em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da área de uma superfície dada por uma função $ z = f(x, y) $ sobre uma região $ D $ no plano $ xy $.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função que define a superfície: $ z = f(x, y) = x^{2} - y^{2} $. A região $ D $ sobre a qual vamos calcular a área é o conjunto de pontos $ (x, y) $ que satisfazem $ x^{2} + y^{2} \leq 2 $, ou seja, um círculo de raio $ \sqrt{2} $ centrado na origem.

Passo 3

A fórmula para a área $ A $ da superfície $ S $ é dada por:
A
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, inserir na fórmula e integrar sobre a região $ D $.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x = 2x
partial fpartial y = -2y
Agora, elevamos ao quadrado essas derivadas:
( partial fpartial x )^2 = (2x)^2 = 4x^2
( partial fpartial y )^2 = (-2y)^2 = 4y^2

Passo 5

Substituímos esses resultados na fórmula da área:
A = integral duplaD raiz1 + 4x^2 + 4y^2 , dx , dy
Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas polares, já que a região $ D $ é um círculo.

Passo 6

Em coordenadas polares, temos:
x = r cos theta
y = r sin theta
dx , dy = r , dr , dtheta
E a inequação $ x^{2} + y^{2} \leq 2 $ se transforma em $ r^{2} \leq 2 $, ou seja, $ 0 \leq r \leq \sqrt{2} $, e $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.

Passo 7

Substituindo tudo na integral, temos:
A = integral0^2pi integral0^raiz2 raiz1 + 4r^2 cdot r , dr , dtheta
Agora, vamos resolver a integral interna em $ r $.

Passo 8

Vamos resolver a integral:
integral0^raiz2 r raiz1 + 4r^2 , dr
Fazemos uma substituição $ u = 1 + 4r^{2} $, então $ du = 8r , dr $ ou $ r , dr = \frac{du}{8} $.
Quando $ r = 0 $, $ u = 1 $, e quando $ r = \sqrt{2} $, $ u = 1 + 4 \cdot 2 = 9 $.

Passo 9

A integral fica:
18 integral1^9 raizu , du = 18 cdot 23 u^3/2 |1^9 = 112 ( 9^3/2 - 1^3/2 ) = 112 (27 - 1) = 2612 = 136

Passo 10

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
A = integral0^2pi 136 , dtheta = 136 cdot 2pi = 133 pi

Resposta

A área da superfície $ S $ é $ \frac{13}{3} \pi $ unidades de área.

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