Dada a função vetorial
r(t)=4 sen t imath+6 cos t jmath+(2 t+1) k
que descreve o movimento de uma partícula, então:
c) Qual o módulo do vetor aceleração no instante t=pi2 ?

Passo 1

O enunciado pede o módulo do vetor aceleração de uma partícula cuja posição é dada por vec r(t)=4sin t,imath+6cos t,jmath+(2t+1),k. O conteúdo é derivada de função vetorial: vamos precisar calcular a velocidade vec v(t)=vec r,'(t), depois a aceleração vec a(t)=vec v,'(t), avalia-la em t=pi2 e então encontrar o seu módulo.

Passo 2

Primeiro derivamos vec r(t) para obter a velocidade vec v(t). A cada componente aplicamos a derivada de seno, cosseno e função linear:
$$\vec v(t)=\vec r,

Passo 3

(t)=4\cos t,\vec{\imath}-6\sin t,\vec{\jmath}+2,\vec{k}
$$

Passo 4

Em seguida, derivamos vec v(t) para obter a aceleração vec a(t). Derivando cada componente:
$$\vec a(t)=\vec v,

Passo 5

(t)=-4\sin t,\vec{\imath}-6\cos t,\vec{\jmath}+0,\vec{k}
$$

Passo 6

Agora avaliamos vec a(t) em t=pi2, usando sinpi2=1 e cospi2=0:
$$\vec a\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(-4\cdot1),\vec{\imath}+(-6\cdot0),\vec{\jmath}+0,\vec{k}= -4,\vec{\imath}
$$

Passo 7

Por fim, o módulo de vec al(pi2r) é dado por:
$$|\vec a\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)|=\sqrt{(-4)2+02+0^2}=4
$$

Resposta

4

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