Calcular os limites, se existir.
d) lim x 1 (x-1)^2raiz[3]x^2-2 raiz[3]x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite abaixo quando lim x 1 (x-1)^2raiz[3]x^2 - 2 raiz[3]x + 1 se aproxima de 1:
Esse exercício envolve cálculo de limites e análise de funções. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões que resultam em uma forma indeterminada como . Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos (1-1)^2raiz[3]1^2 - 2 raiz[3]1 + 1 = 01 - 2 + 1 = 00 diretamente na expressão:
A gente acaba com uma forma indeterminada , o que significa que precisamos de uma estratégia para simplificar ou reorganizar a expressão.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) , uma técnica útil é a Regra de L’Hospital. Essa regra diz que, se o limite de ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas:
desde que esse novo limite exista.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital ao nosso limite. Primeiro, calculamos as derivadas do numerador e do denominador:
Numerador:
f(x) = (x - 1)^2 Rightarrow f'(x) = 2(x - 1)
Denominador:
g(x) = raiz[3]x^2 - 2 raiz[3]x + 1
Para derivar g'(x) = 2x3x^2/3 - 2 cdot 13x^-2/3 + 0 = 2x3x^2/3 - 23x^2/3 , lembramos que a derivada de é . Então:

Passo 5

Agora, reescrevemos o limite com as derivadas:
limx 1 2(x - 1)2x3x^2/3 - 23x^2/3
Vamos simplificar o denominador. Podemos colocar os termos em evidência:
2x - 23x^2/3 = 2(x - 1)3x^2/3
Então, o limite fica:
limx 1 2(x - 1)2(x - 1)3x^2/3 = limx 1 2(x - 1) cdot 3x^2/32(x - 1) = limx 1 3x^2/3

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, basta substituir 3 cdot (1)^2/3 = 3 cdot 1 = 3 para encontrar o limite:

Resposta

O limite é igual a 3.

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