É dado lim x a f(x)=L. Determinar um número de para o varepsilon dado tal que |f(x)-L| sempre que 0<|x-a|
c) lim x 5 x^2=25, varepsilon=0,5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que o limite quando se aproxima de 5 para a função é 25. A gente precisa encontrar um número tal que, se estiver a menos de de 5 (mas diferente de 5), então estará a menos de de 25. Vamos usar a definição de limite, que basicamente conecta e para garantir que a função se aproxime do limite desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que precisamos: queremos que |x^2 - 25| < 0,5 . No nosso caso, isso fica:
Nosso objetivo é encontrar tal que isso aconteça sempre que .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão |x^2 - 25| = |x - 5||x + 5| . Sabemos que:
|x - 5||x + 5| < 0,5
Então, queremos que:
x in (5 - 1, 5 + 1) Rightarrow x in (4, 6)
Para facilitar, vamos tentar limitar |x + 5| <= |6 + 5| = 11 . Se assumirmos que , então:
Dessa forma, fica:

Passo 4

Agora que sabemos que |x - 5| cdot 11 < 0,5 , podemos substituir de volta na nossa desigualdade:
|x - 5| < 0,511 approx 0,04545
Resolvendo para :
Então, para garantir que , precisamos que .

Resposta

Um valor adequado é .

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