Calcular os limites laterais das funções abaixo nos pontos indicados e dizer se existe o limite da função nos pontos dados:
f(x)=\frac{x}{x-2}, em x=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites laterais da função f no ponto indicado e dizer se o limite existe. As informações dadas são:
  • A função é f(x)=\dfrac{x}{x-2}.
  • O ponto onde queremos os limites é x=2.
As perguntas explícitas que vamos responder:
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to2^-} f(x) (limite pela esquerda).
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to2^+} f(x) (limite pela direita).
  • Dizer se \displaystyle \lim_{x\to2} f(x) existe ou não.

Passo 2

Primeiro vamos manipular a expressão de f(x) para ficar mais fácil ver o que acontece quando x se aproxima de 2. Faça uma divisão auxiliar no numerador:
f(x)=\frac{x}{x-2}=\frac{(x-2)+2}{x-2}=\frac{x-2}{x-2}+\frac{2}{x-2}=1+\frac{2}{x-2}.
Explicação didática: escrevemos x como (x-2)+2 para separar uma parte que se simplifica ( \dfrac{x-2}{x-2}=1) e uma parte \dfrac{2}{x-2} que contém toda a “problematica” quando x\to2. Isso facilita porque o comportamento extremo vem de \dfrac{2}{x-2}.
Também é útil lembrar o que significa limite lateral:
  • \displaystyle \lim_{x\to2^-} f(x) significa observar valores de f(x) quando x se aproxima de 2 por valores menores que 2.
  • \displaystyle \lim_{x\to2^+} f(x) significa observar valores de f(x) quando x se aproxima de 2 por valores maiores que 2.

Passo 3

Vamos analisar \displaystyle \lim_{x\to2^-} f(x).
Usando a forma que obtivemos,
f(x)=1+\frac{2}{x-2}.
Quando x\to2^- temos x<2, portanto x-2 é um número negativo cujo valor absoluto fica cada vez menor (por exemplo, para x=1{,}9 tem x-2=-0{,}1, para x=1{,}99 tem x-2=-0{,}01, etc.). Assim \dfrac{2}{x-2} é um número negativo cujo módulo cresce sem limite quando x se aproxima de 2 pela esquerda. Em símbolos:
\lim_{x\to2^-}\frac{2}{x-2}=-\infty.
Somando o 1 que aparece em f(x) não altera o comportamento de “divergir para -\infty”: 1+(-\infty)=-\infty. Portanto
\lim_{x\to2^-} f(x)=-\infty.
Exemplo numérico rápido para firmar a intuição: para x=1{,}9, f(1{,}9)=1+\dfrac{2}{-0{,}1}=1-20=-19; para x=1{,}99, f(1{,}99)=1+\dfrac{2}{-0{,}01}=1-200=-199. Os valores vão para -\infty.

Passo 4

Agora analisamos \displaystyle \lim_{x\to2^+} f(x).
Novamente com
f(x)=1+\frac{2}{x-2},
quando x\to2^+ temos x>2, logo x-2 é positivo e tende a 0 pela direita, isto é, é um número positivo muito pequeno (por exemplo, x=2{,}1 x-2=0{,}1, x=2{,}01 0{,}01, etc.). Assim \dfrac{2}{x-2} é positivo e cresce sem limite quando x se aproxima de 2 pela direita:
\lim_{x\to2^+}\frac{2}{x-2}=+\infty.
Somando o 1 1+(+\infty)=+\infty. Portanto
\lim_{x\to2^+} f(x)=+\infty.
Exemplo numérico: para x=2{,}1, f(2{,}1)=1+\dfrac{2}{0{,}1}=1+20=21; para x=2{,}01, f(2{,}01)=1+\dfrac{2}{0{,}01}=201. Os valores vão para +\infty.

Passo 5

Conclusão sobre a existência do limite em x=2:
Para que o limite \displaystyle \lim_{x\to2} f(x) exista (no sentido usual, mesmo permitindo o valor \pm\infty como “limite estendido”), é necessário que as duas laterais coincidam. Aqui:
\lim_{x\to2^-} f(x) = -\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to2^+} f(x) = +\infty,
são diferentes. Portanto o limite \displaystyle \lim_{x\to2} f(x) não existe.
Observação final (útil para prova): esse comportamento indica que a função tem uma assíntota vertical em x=2.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to2^-} f(x) = -\infty
\displaystyle \lim_{x\to2^+} f(x) = +\infty
\displaystyle \lim_{x\to2} f(x) não existe.

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