Calcular os limites laterais das funções abaixo nos pontos indicados e dizer se existe o limite da função nos pontos dados:
, em
Passo 1
O enunciado pede para calcular os limites laterais da função
no ponto indicado e dizer se o limite existe. As informações dadas são:
- A função é
. - O ponto onde queremos os limites é
.
As perguntas explícitas que vamos responder:
- Calcular
(limite pela esquerda). - Calcular
(limite pela direita). - Dizer se
existe ou não.
Passo 2
Primeiro vamos manipular a expressão de
para ficar mais fácil ver o que acontece quando
se aproxima de
. Faça uma divisão auxiliar no numerador:
Explicação didática: escrevemos
como
para separar uma parte que se simplifica (
) e uma parte
que contém toda a “problematica” quando
. Isso facilita porque o comportamento extremo vem de
.
Também é útil lembrar o que significa limite lateral:
-
significa observar valores de quando se aproxima de por valores menores que . -
significa observar valores de quando se aproxima de por valores maiores que .
Passo 3
Vamos analisar
.
Usando a forma que obtivemos,
Quando
temos
, portanto
é um número negativo cujo valor absoluto fica cada vez menor (por exemplo, para
tem
, para
tem
, etc.). Assim
é um número negativo cujo módulo cresce sem limite quando
se aproxima de
pela esquerda. Em símbolos:
Somando o
que aparece em
não altera o comportamento de “divergir para
”:
. Portanto
Exemplo numérico rápido para firmar a intuição: para
,
; para
,
. Os valores vão para
.
Passo 4
Agora analisamos
.
Novamente com
quando
temos
, logo
é positivo e tende a
pela direita, isto é, é um número positivo muito pequeno (por exemplo,
dá
,
dá
, etc.). Assim
é positivo e cresce sem limite quando
se aproxima de
pela direita:
Somando o
dá
. Portanto
Exemplo numérico: para
,
; para
,
. Os valores vão para
.
Passo 5
Conclusão sobre a existência do limite em
:
Para que o limite
exista (no sentido usual, mesmo permitindo o valor
como “limite estendido”), é necessário que as duas laterais coincidam. Aqui:
são diferentes. Portanto o limite
não existe.
Observação final (útil para prova): esse comportamento indica que a função tem uma assíntota vertical em
.