Calcular os seguintes limites:
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{3}-5(x+h)^{2}}{x+h}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{3}-5(x+h)^{2}}{x+h}.
Informações relevantes:
  • A variável que tende a zero é h.
  • O símbolo x é um parâmetro (um número real fixo) — a resposta deve ficar em função de x.
  • A expressão original está escrita como um quociente; atenção com valores onde o denominador se anula ( x+h=0).
    Nenhum outro dado foi dado.

Passo 2

Simplificar a expressão algébrica antes de tomar o limite costuma ser a forma mais prática. Podemos dividir cada termo do numerador por x+h (desde que x+h\neq0; isso vale para todos os h próximos de 0 exceto possivelmente um ponto isolado, e o limite só considera h próximos de 0 com h\neq0). Fazendo a divisão termo a termo:
\frac{(x+h)^{3}-5(x+h)^{2}}{x+h} = \frac{(x+h)^{3}}{x+h}-\frac{5(x+h)^{2}}{x+h}.

Passo 3

Calcule cada fração simples:
\frac{(x+h)^{3}}{x+h}=(x+h)^{2}, \qquad \frac{5(x+h)^{2}}{x+h}=5(x+h).
Portanto a expressão simplifica-se para
(x+h)^{2}-5(x+h).

Passo 4

Agora usamos a propriedade de continuidade dos polinômios: polinômios são funções contínuas, então o limite quando h\to0 de um polinômio em h é obtido substituindo h=0. Aplicando isso:
\lim_{h\to 0}\bigl((x+h)^{2}-5(x+h)\bigr) = x^{2}-5x.
Isto é, basta substituir h=0.

Passo 5

Verificação do caso x=0 (para garantir que não houve perda de generalidade): se x=0 a expressão original fica
\frac{h^{3}-5h^{2}}{h}=h^{2}-5h,
cujo limite quando h\to0 é 0. O valor de x^{2}-5x em x=0 também é 0. Logo a fórmula final é válida para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

x^{2}-5x

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