Calcular os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes:
- A variável que tende a zero é
. - O símbolo
é um parâmetro (um número real fixo) — a resposta deve ficar em função de . - A expressão original está escrita como um quociente; atenção com valores onde o denominador se anula (
).
Nenhum outro dado foi dado.
Passo 2
Simplificar a expressão algébrica antes de tomar o limite costuma ser a forma mais prática. Podemos dividir cada termo do numerador por
(desde que
; isso vale para todos os
próximos de
exceto possivelmente um ponto isolado, e o limite só considera
próximos de
com
). Fazendo a divisão termo a termo:
Passo 3
Calcule cada fração simples:
Portanto a expressão simplifica-se para
Passo 4
Agora usamos a propriedade de continuidade dos polinômios: polinômios são funções contínuas, então o limite quando
de um polinômio em
é obtido substituindo
. Aplicando isso:
Isto é, basta substituir
.
Passo 5
Verificação do caso
(para garantir que não houve perda de generalidade): se
a expressão original fica
cujo limite quando
é
. O valor de
em
também é
. Logo a fórmula final é válida para todo
.