Calcular os limites laterais das funções abaixo nos pontos indicados e dizer se existe o limite da função nos pontos dados:
f(x)=\tan (x), em x=\frac{\pi}{2} e x=-\frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\tan(x) e pede, para cada um dos pontos indicados, que se calculem os limites laterais e que se diga se o limite da função no ponto existe. Especificamente as perguntas são:
  • Calcular \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}\tan(x) e \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^+}\tan(x), e dizer se \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\tan(x) existe.
  • Calcular \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^-}\tan(x) e \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^+}\tan(x), e dizer se \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}}\tan(x) existe.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é f(x)=\tan(x).
  • Os pontos onde devemos estudar os limites são x=\frac{\pi}{2} e x=-\frac{\pi}{2}.

Passo 2

Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática): escrever a tangente como razão de seno por cosseno. Isto é útil porque quando x se aproxima de um ponto em que o cosseno tende a zero, o comportamento da tangente é determinado pelo sinal do cosseno e pelo valor do seno nesse ponto.
A identidade básica é
\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}.
Aqui:
  • \sin(x) e \cos(x) são as funções seno e cosseno.
  • Se ao aproximarmos x de um ponto o numerador \sin(x) tende a um número finito diferente de zero e o denominador \cos(x) tende a 0 com sinal conhecido, então a razão tende a +\infty ou -\infty dependendo dos sinais.
Também é útil lembrar os valores e sinais do seno e cosseno em torno de \pm\frac{\pi}{2}:
  • \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1 e \sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=-1.
  • O cosseno é zero em x=\pm\tfrac{\pi}{2}. Mas ao aproximar por um lado o cosseno pode tender a 0^+ (zero pela direita, isto é pequeno e positivo) ou a 0^- (zero pela esquerda, isto é pequeno e negativo); precisamos examinar o sinal do cosseno no intervalo de cada lado do ponto.
Vou usar esses fatos para analisar, separadamente, as aproximações pela esquerda e pela direita em cada ponto.

Passo 3

Limites laterais em x=\frac{\pi}{2}.
Primeiro observe que \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}. Vamos analisar o numerador e o denominador ao nos aproximarmos de x=\tfrac{\pi}{2}.
  • Quando x\to\frac{\pi}{2}^- (aproximação pela esquerda): nesse lado os ângulos estão em (0,\tfrac{\pi}{2}). Nessa faixa temos \sin(x)>0 e \cos(x)>0. Ao aproximar x de \tfrac{\pi}{2}, \sin(x)\to1 e \cos(x)\to0^+ (isto é, tende a zero por valores positivos). Assim a razão
    \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}
    tem numerador aproximando-se de 1 (positivo e finito) e denominador aproximando-se de 0^+ (positivo e muito pequeno). Uma divisão de um positivo finito por um número positivo que vai a zero dá um resultado que cresce sem limite positivo. Logo
    \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}\tan(x)=+\infty.
  • Quando x\to\frac{\pi}{2}^+ (aproximação pela direita): nesse lado os ângulos estão em (\tfrac{\pi}{2},\pi). Nessa faixa temos \sin(x)>0 e \cos(x)<0. Ao aproximar x de \tfrac{\pi}{2} por valores maiores, \sin(x)\to1 e \cos(x)\to0^- (tende a zero por valores negativos). Assim o numerador é positivo próximo de 1 e o denominador é um pequeno negativo, então a razão tende a -\infty. Logo
    \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^+}\tan(x)=-\infty.
Como as duas limites laterais são infinitos com sinais opostos ( +\infty e -\infty), o limite bilateral não existe como número finito. Portanto \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\tan(x) não existe (às vezes diz-se que há uma assíntota vertical em x=\tfrac{\pi}{2}).

Passo 4

Limites laterais em x=-\frac{\pi}{2}.
Novamente usamos \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} e verificamos sinais em torno de x=-\tfrac{\pi}{2}.
  • Quando x\to-\frac{\pi}{2}^- (aproximação pela esquerda): aqui os x são menores que -\tfrac{\pi}{2}, ou seja estão no intervalo (-\pi,-\tfrac{\pi}{2}). Nessa região temos \sin(x)<0 e \cos(x)<0. Ao aproximar x de -\tfrac{\pi}{2} por valores à esquerda, \sin(x)\to-1 e \cos(x)\to0^-. Então o numerador tende a -1 e o denominador tende a 0^-. A razão de dois números negativos (numerador próximo de -1 e denom pequeno negativo) é positiva e cresce sem limite, portanto
    \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^-}\tan(x)=+\infty.
  • Quando x\to-\frac{\pi}{2}^+ (aproximação pela direita): agora x está em (-\tfrac{\pi}{2},0). Nessa faixa \sin(x)<0 e \cos(x)>0. Ao aproximar, \sin(x)\to-1 e \cos(x)\to0^+. Assim o numerador é negativo e o denominador é um pequeno positivo, a razão tende a -\infty. Logo
    \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^+}\tan(x)=-\infty.
Como as duas limites laterais são infinitos com sinais opostos ( +\infty e -\infty), o limite bilateral em x=-\tfrac{\pi}{2} também não existe como número finito.

Passo 5

Resumo e interpretação final (rápido reforço didático):
  • Sempre que o cosseno tende a zero enquanto o seno tende a um valor finito não nulo, a tangente tende a infinito com sinal determinado pelo sinal do cosseno (e pelo sinal do seno).
  • Nos dois pontos pedidos ( x=\pm\tfrac{\pi}{2}) o seno tende a \pm1 enquanto o cosseno tende a zero, e os sinais do cosseno dos dois lados do ponto são opostos, por isso as duas limites laterais têm sinais opostos e o limite bilateral em cada ponto não existe.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}\tan(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^+}\tan(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\tan(x)\\ \text{não existe.}ã\n
\displaystyle \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^-}\tan(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^+}\tan(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}}\tan(x)\\ \text{não existe.}ã

Exercícios relacionados