Calcular os limites laterais das funções abaixo nos pontos indicados e dizer se existe o limite da função nos pontos dados:
, em
e
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, para cada um dos pontos indicados, que se calculem os limites laterais e que se diga se o limite da função no ponto existe. Especificamente as perguntas são:
- Calcular
e , e dizer se existe. - Calcular
e , e dizer se existe.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é
. - Os pontos onde devemos estudar os limites são
e .
Passo 2
Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática): escrever a tangente como razão de seno por cosseno. Isto é útil porque quando
se aproxima de um ponto em que o cosseno tende a zero, o comportamento da tangente é determinado pelo sinal do cosseno e pelo valor do seno nesse ponto.
A identidade básica é
Aqui:
-
e são as funções seno e cosseno. - Se ao aproximarmos
de um ponto o numerador tende a um número finito diferente de zero e o denominador tende a com sinal conhecido, então a razão tende a ou dependendo dos sinais.
Também é útil lembrar os valores e sinais do seno e cosseno em torno de
:
-
e . - O cosseno é zero em
. Mas ao aproximar por um lado o cosseno pode tender a (zero pela direita, isto é pequeno e positivo) ou a (zero pela esquerda, isto é pequeno e negativo); precisamos examinar o sinal do cosseno no intervalo de cada lado do ponto.
Vou usar esses fatos para analisar, separadamente, as aproximações pela esquerda e pela direita em cada ponto.
Passo 3
Limites laterais em
.
Primeiro observe que
. Vamos analisar o numerador e o denominador ao nos aproximarmos de
.
-
Quando
(aproximação pela esquerda): nesse lado os ângulos estão em . Nessa faixa temos e . Ao aproximar de , e (isto é, tende a zero por valores positivos). Assim a razão tem numerador aproximando-se de(positivo e finito) e denominador aproximando-se de (positivo e muito pequeno). Uma divisão de um positivo finito por um número positivo que vai a zero dá um resultado que cresce sem limite positivo. Logo -
Quando
(aproximação pela direita): nesse lado os ângulos estão em . Nessa faixa temos e . Ao aproximar de por valores maiores, e (tende a zero por valores negativos). Assim o numerador é positivo próximo de e o denominador é um pequeno negativo, então a razão tende a . Logo
Como as duas limites laterais são infinitos com sinais opostos (
e
), o limite bilateral não existe como número finito. Portanto
não existe (às vezes diz-se que há uma assíntota vertical em
).
Passo 4
Limites laterais em
.
Novamente usamos
e verificamos sinais em torno de
.
-
Quando
(aproximação pela esquerda): aqui os são menores que , ou seja estão no intervalo . Nessa região temos e . Ao aproximar de por valores à esquerda, e . Então o numerador tende a e o denominador tende a . A razão de dois números negativos (numerador próximo de e denom pequeno negativo) é positiva e cresce sem limite, portanto -
Quando
(aproximação pela direita): agora está em . Nessa faixa e . Ao aproximar, e . Assim o numerador é negativo e o denominador é um pequeno positivo, a razão tende a . Logo
Como as duas limites laterais são infinitos com sinais opostos (
e
), o limite bilateral em
também não existe como número finito.
Passo 5
Resumo e interpretação final (rápido reforço didático):
- Sempre que o cosseno tende a zero enquanto o seno tende a um valor finito não nulo, a tangente tende a infinito com sinal determinado pelo sinal do cosseno (e pelo sinal do seno).
- Nos dois pontos pedidos (
) o seno tende a enquanto o cosseno tende a zero, e os sinais do cosseno dos dois lados do ponto são opostos, por isso as duas limites laterais têm sinais opostos e o limite bilateral em cada ponto não existe.