Calcular os limites laterais das funções abaixo nos pontos indicados e dizer se existe o limite da função nos pontos dados:
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{1-x} & , \text { se } x<0 \\\\ 0 & , \text { se } x=0 \\\ x & , \text { se } 0<x<1 \\\\ 2 & , \text { se } x \geq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{1-x}, & \text{se } x<0,\\[6pt] 0, & \text{se } x=0,\\[4pt] x, & \text{se } 0<x<1,\\[4pt] 2, & \text{se } x\ge 2, \end{cases}
e pede para calcular os limites laterais nos pontos indicados e dizer se o limite (bilateral) existe nesses pontos.
Os pontos onde a definição muda e que tipicamente são os “pontos indicados” são 0, 1 e 2. Vou, portanto, calcular para cada um desses pontos:
  • \lim_{x\to 0^-} f(x) e \lim_{x\to 0^+} f(x), e dizer se \lim_{x\to 0} f(x) existe;
  • \lim_{x\to 1^-} f(x) e \lim_{x\to 1^+} f(x), e dizer se \lim_{x\to 1} f(x) existe;
  • \lim_{x\to 2^-} f(x) e \lim_{x\to 2^+} f(x), e dizer se \lim_{x\to 2} f(x) existe.
Informações relevantes do enunciado:
  • Para x<0 vale f(x)=\dfrac{1}{1-x}.
  • Para x=0 vale f(0)=0.
  • Para 0<x<1 vale f(x)=x.
  • Para x\ge 2 vale f(x)=2.
  • Nota importante: não há definição dada para x=1 nem para 1<x<2 no enunciado.]

Passo 2

Breve revisão didática sobre limites laterais e existência do limite:
  • A definição prática: \lim_{x\to a^-} f(x)\) é o limite quando \(x\) se aproxima de \(a\) vindo da esquerda (valores com \(x<a\) suficientemente próximos de \(a\)). \(\lim_{x\to a^+} f(x)\) é o limite quando \(x\) se aproxima de \(a\) vindo da direita (valores com \(x>a\) suficientemente próximos de \(a\)). - Para existir o limite bilateral \(\lim_{x\to a} f(x)\) é necessário e suficiente que as duas limitações laterais existam e sejam iguais: \[\text{existe } \lim_{x\to a} f(x)\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} \lim_{x\to a^-} f(x)\\ \text{existe},\\[4pt] \lim_{x\to a^+} f(x)\\ \text{existe},\\[4pt] \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x). \end{cases}
  • Se a expressão que descreve f(x)\] num lado do ponto é uma função contínua naquele ponto (por exemplo polinômio, função identidade \(x, razão com denominador não nulo, etc.), então o limite lateral é obtido substituindo x=a nessa expressão.
  • Atenção: para que uma das limites laterais faça sentido é preciso que a função esteja definida para valores de x em uma vizinhança (à esquerda ou à direita) de a, exceto possivelmente em a em si. Se não existem valores de f arbitrariamente próximos de a por um dos lados, esse limite lateral não existe.]

Passo 3

Cálculo das limites em 0.
  1. Limite pela esquerda: para x<0 vale f(x)=\dfrac{1}{1-x}. Essa função racional é contínua em torno de 0 (denominador 1-x não zera em x=0), então
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{1-x}=\dfrac{1}{1-0} = 1.
Raciocínio simples: podemos substituir x=0 na expressão \dfrac{1}{1-x}.
  1. Limite pela direita: para 0<x<1 vale f(x)=x. Função identidade é contínua, logo
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} x = 0.
Comparando: \lim_{x\to 0^-} f(x)=1 e \lim_{x\to 0^+} f(x)=0. Como são diferentes, o limite bilateral \lim_{x\to 0} f(x) não existe. Observação adicional: f(0)=0, então a função toma o valor da limite pela direita em 0, mas isso não salva a existência do limite bilateral porque a esquerda dá outro valor.

Passo 4

Cálculo das limites em 1.
  1. Limite pela esquerda: para 0<x<1 vale f(x)=x. Portanto
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-} x = 1.
  1. Limite pela direita: para x>1 e x<2 (isto é, em (1,2)) não há definição de f(x) no enunciado — não existe uma regra que dê valores de f em qualquer intervalo da forma (1,1+\delta). Assim não há valores de f(x) para x arbitrariamente próximos de 1 vindos da direita; por isso o limite pela direita
\lim_{x\to 1^+} f(x)
não existe (ou melhor: não está definido), porque a definição de limite requer que existam pontos do domínio arbitrariamente próximos de 1 pela direita. Além disso, f(1) também não está definido segundo a definição por partes.
Conclusão: \lim_{x\to 1^-} f(x)=1, \lim_{x\to 1^+} f(x) não existe, e portanto \lim_{x\to 1} f(x) não existe.

Passo 5

Cálculo das limites em 2.
  1. Limite pela direita: para x\ge 2 vale f(x)=2. Em particular, para x>2 suficientemente próximo de 2 temos f(x)=2 constante, então
\lim_{x\to 2^+} f(x)=2.
(Se uma função é constante em uma vizinhança à direita de 2, o limite à direita é justamente esse valor constante.)
  1. Limite pela esquerda: para x<2 e próximos de 2 devemos olhar para valores com x<2. No entanto, para 1<x<2 a função não foi definida no enunciado, logo não existem valores de f(x) para x arbitrariamente próximos de 2 vindos da esquerda. Portanto o limite pela esquerda
\lim_{x\to 2^-} f(x)
não existe (não está definido), porque faltam valores do domínio que se aproximem de 2 pela esquerda. Note que f(2)=2 está definido, porém isso não garante existência do limite bilateral.
Conclusão: \lim_{x\to 2^-} f(x) não existe, \lim_{x\to 2^+} f(x)=2, logo \lim_{x\to 2} f(x) não existe.

Passo 6

Resumo interpretativo e dicas para a prova (curto e prático):
  • Sempre identifique as regiões do domínio onde a função está definida; pontos onde a regra muda (ou onde a função não foi definida) são os que exigem cuidado.
  • Para calcular um limite lateral, primeiro veja qual expressão da função se aplica para x à esquerda ou à direita daquele ponto. Se a expressão for uma função contínua nessa região, basta substituir.
  • Se a função não estiver nem definida nem tiver valores arbitrariamente próximos de a por um dos lados, o respectivo limite lateral não existe.
  • Para existir o limite bilateral os dois limites laterais devem existir e coincidir.

Resposta

\lim_{x\to 0^-} f(x)=1 , \lim_{x\to 0^+} f(x)=0 \Rightarrow \lim_{x\to 0} f(x) não existe.
\lim_{x\to 1^-} f(x)=1 , \lim_{x\to 1^+} f(x) não existe \Rightarrow \lim_{x\to 1} f(x) não existe.
\lim_{x\to 2^-} f(x) não existe , \lim_{x\to 2^+} f(x)=2 \Rightarrow \lim_{x\to 2} f(x) não existe.

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