Calcular os limites laterais das funções abaixo nos pontos indicados e dizer se existe o limite da função nos pontos dados:
f(x)=\frac{\left|x^{2}-4 x+10\right|}{\left|x^{2}-2 x+1\right|}, em x=1

Passo 1

O enunciado pede: calcular os limites laterais de f em x=1 e dizer se o limite de f em x=1 existe.
Dados:
  • A função é f(x)=\dfrac{\left|x^{2}-4 x+10\right|}{\left|x^{2}-2 x+1\right|}.
  • O ponto onde queremos os limites é x=1.

Passo 2

Vamos olhar para o numerador e entender o valor absoluto. Observe que
x^{2}-4x+10=(x-2)^{2}+6.
Como (x-2)^{2}\ge 0 para todo x, segue que (x-2)^{2}+6\ge 6>0. Portanto o numerador é sempre positivo e o valor absoluto é redundante:
\left|x^{2}-4x+10\right|=x^{2}-4x+10\qquad\text{para todo }x.

Passo 3

Agora o denominador. Note que
x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.
Como (x-1)^{2}\ge 0 para todo x, temos
\left|x^{2}-2x+1\right|=\left|(x-1)^{2}\right|=(x-1)^{2}.
O denominador é zero exatamente em x=1 e positivo para x\neq1.

Passo 4

Para x\neq1 a função simplifica para
f(x)=\frac{x^{2}-4x+10}{(x-1)^{2}}.
Queremos saber o comportamento quando x\to1. Uma técnica clara é fazer a mudança x=1+h com h\to0. Assim:
x^{2}-4x+10=(1+h)^{2}-4(1+h)+10.

Passo 5

Calculemos explicitamente a expressão em termos de h:
(1+h)^{2}-4(1+h)+10 = 1+2h+h^{2}-4-4h+10 = 7-2h+h^{2}.
O denominador fica (x-1)^{2}=h^{2}. Então, para h\neq0,
f(1+h)=\frac{7-2h+h^{2}}{h^{2}}=\frac{7}{h^{2}}-\frac{2}{h}+1.

Passo 6

Agora analisamos o limite quando h\to0 pela esquerda ( h\to0^{-}) e pela direita ( h\to0^{+}).
  • O termo dominante é \dfrac{7}{h^{2}}. Como h^{2} é sempre positivo e tende a 0 quando h\to0, temos \dfrac{7}{h^{2}}\to+\infty quer h\to0^{-} quer h\to0^{+}.
  • Os outros termos -\dfrac{2}{h} e 1 são menos relevantes: -\dfrac{2}{h} diverge com sinais opostos dependendo do lado, mas é de ordem 1/|h| enquanto \dfrac{7}{h^{2}} é de ordem 1/h^{2} e domina totalmente. Portanto o comportamento global é de crescimento para +\infty em ambos os lados.
Consequentemente,
\lim_{x\to1^{-}} f(x)=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to1^{+}} f(x)=+\infty.

Passo 7

Interpretação sobre existência do limite: como os dois limites laterais são iguais, a função tem um limite (no sentido estendido) quando x\to1, mas esse limite é infinito. No sentido usual de limite finito, dizemos que o limite não existe (a função diverge para +\infty).

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to1^{-}} f(x)=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to1^{+}} f(x)=+\infty
O limite finito não existe (a função diverge para +\infty).

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