Calcular os limites laterais das funções abaixo nos pontos indicados e dizer se existe o limite da função nos pontos dados: f(x)=\frac{\left|x^{2}-4 x+10\right|}{\left|x^{2}-2 x+1\right|}, em x=1
Passo 1
O enunciado pede: calcular os limites laterais de f em x=1 e dizer se o limite de f em x=1 existe.
Dados:
A função é f(x)=\dfrac{\left|x^{2}-4 x+10\right|}{\left|x^{2}-2 x+1\right|}.
O ponto onde queremos os limites é x=1.
Passo 2
Vamos olhar para o numerador e entender o valor absoluto. Observe que
x^{2}-4x+10=(x-2)^{2}+6.
Como (x-2)^{2}\ge 0 para todo x, segue que (x-2)^{2}+6\ge 6>0. Portanto o numerador é sempre positivo e o valor absoluto é redundante:
\left|x^{2}-4x+10\right|=x^{2}-4x+10\qquad\text{para todo }x.
Agora analisamos o limite quando h\to0 pela esquerda (h\to0^{-}) e pela direita (h\to0^{+}).
O termo dominante é \dfrac{7}{h^{2}}. Como h^{2} é sempre positivo e tende a 0 quando h\to0, temos \dfrac{7}{h^{2}}\to+\infty quer h\to0^{-} quer h\to0^{+}.
Os outros termos -\dfrac{2}{h} e 1 são menos relevantes: -\dfrac{2}{h} diverge com sinais opostos dependendo do lado, mas é de ordem 1/|h| enquanto \dfrac{7}{h^{2}} é de ordem 1/h^{2} e domina totalmente. Portanto o comportamento global é de crescimento para +\infty em ambos os lados.
Interpretação sobre existência do limite: como os dois limites laterais são iguais, a função tem um limite (no sentido estendido) quando x\to1, mas esse limite é infinito. No sentido usual de limite finito, dizemos que o limite não existe (a função diverge para +\infty).
Resposta
\displaystyle \lim_{x\to1^{-}} f(x)=+\infty \displaystyle \lim_{x\to1^{+}} f(x)=+\infty
O limite finito não existe (a função diverge para +\infty).