Calcular os limites laterais das funções abaixo nos pontos indicados e dizer se existe o limite da função nos pontos dados:
, em
Passo 1
O enunciado pede para calcular os limites laterais de
no ponto
e decidir se o limite de
em
existe. A função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- O ponto onde queremos os limites é
. - A função envolve
, que é zero em (o que impede substituição direta). - Precisamos calcular tanto o limite pela direita
quanto o limite pela esquerda , e então verificar se esses dois limites são iguais (se forem iguais, o limite em existe; se forem diferentes, não existe).
Passo 2
Conceito e estratégia (explicando devagarinho como proceder):
- A função valor absoluto
- Para calcular limites laterais em
em forma diferente para
e para (isto é, usar a definição de por partes). - Lembre que o limite lateral pela direita usa valores
que tendem a , e o limite lateral pela esquerda usa valores que tendem a . Assim, simplificamos em cada região e então passamos para .]
Passo 3
Simplificar
para
(passo a passo):
- Para
temos . - Substituindo na definição:
- Agora fatoramos ou dividimos termo a termo:
válido para todo
. Portanto, para a direita de zero a função se comporta como
.
Passo 4
Calcular o limite pela direita:
- Como para
temos , o limite quando é simplesmente
- Então
.
Passo 5
Simplificar
para
(passo a passo):
- Para
temos . - Substituindo:
- Fatorando o numerador:
válido para todo
. Portanto, para a esquerda de zero a função se comporta como
.
Passo 6
Calcular o limite pela esquerda:
- Como para
temos , o limite quando é
- Então
.
Passo 7
Comparação e conclusão sobre existência do limite em
:
- Encontramos
- Como os dois limites laterais são diferentes, o limite
NÃO existe. - Observação adicional: a própria função não está definida em
porque o denominador vale zero em .
Resposta
O limite