Calcular os limites laterais das funções abaixo nos pontos indicados e dizer se existe o limite da função nos pontos dados:
f(x)=\frac{x+x^{2}}{|x|}, em x=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites laterais de f no ponto x=0 e decidir se o limite de f em 0 existe. A função dada é
f(x)=\frac{x+x^{2}}{|x|}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O ponto onde queremos os limites é x=0.
  • A função envolve |x|, que é zero em x=0 (o que impede substituição direta).
  • Precisamos calcular tanto o limite pela direita \lim_{x\to 0^{+}} f(x) quanto o limite pela esquerda \lim_{x\to 0^{-}} f(x), e então verificar se esses dois limites são iguais (se forem iguais, o limite em 0 existe; se forem diferentes, não existe).

Passo 2

Conceito e estratégia (explicando devagarinho como proceder):
  • A função valor absoluto |x|\) tem a propriedade \[|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -\,x, & \text{se } x<0. \end{cases}
  • Para calcular limites laterais em 0\] é útil escrever \(f(x) em forma diferente para x>0 e para x<0 (isto é, usar a definição de |x| por partes).
  • Lembre que o limite lateral pela direita usa valores x>0 que tendem a 0, e o limite lateral pela esquerda usa valores x<0 que tendem a 0. Assim, simplificamos f em cada região e então passamos x para 0.]

Passo 3

Simplificar f(x) para x>0 (passo a passo):
  • Para x>0 temos |x|=x.
  • Substituindo na definição:
f(x)=\frac{x+x^{2}}{|x|} = \frac{x+x^{2}}{x}.
  • Agora fatoramos ou dividimos termo a termo:
\frac{x+x^{2}}{x}=\frac{x(1+x)}{x}=1+x,
válido para todo x>0. Portanto, para a direita de zero a função se comporta como 1+x.

Passo 4

Calcular o limite pela direita:
  • Como para x>0 temos f(x)=1+x, o limite quando x\to 0^{+} é simplesmente
\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}(1+x)=1+0=1.
  • Então \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=1.

Passo 5

Simplificar f(x) para x<0 (passo a passo):
  • Para x<0 temos |x|=-x.
  • Substituindo:
f(x)=\frac{x+x^{2}}{|x|}=\frac{x+x^{2}}{-x}.
  • Fatorando o numerador:
\frac{x+x^{2}}{-x}=\frac{x(1+x)}{-x}=-\,(1+x),
válido para todo x<0. Portanto, para a esquerda de zero a função se comporta como -1-x.

Passo 6

Calcular o limite pela esquerda:
  • Como para x<0 temos f(x)=-1-x, o limite quando x\to 0^{-} é
\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}(-1-x)=-1-0=-1.
  • Então \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=-1.

Passo 7

Comparação e conclusão sobre existência do limite em 0:
  • Encontramos
\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=-1.
  • Como os dois limites laterais são diferentes, o limite \lim_{x\to 0} f(x) NÃO existe.
  • Observação adicional: a própria função não está definida em x=0 porque o denominador |x| vale zero em 0.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=1
\displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=-1
O limite \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) não existe.

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