Calcular os limites laterais das funções abaixo nos pontos indicados e dizer se existe o limite da função nos pontos dados:
f(x)= \begin{cases}\frac{\operatorname{sen}(x-\pi)}{3(x-\pi)}, & \text { se } x<\pi \\\ \frac{x^{2}-\pi^{2}}{6(x-\pi)}, & \text { se } \pi \leq x<2 \pi \\\ x^{3}+\pi, & \text { se } 2 \pi \leq x\end{cases}
em \quad x=\pi \quad e \quad x=2 \pi

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}\dfrac{\operatorname{sen}(x-\pi)}{3(x-\pi)}, & \text{se } x<\pi,\\[6pt] \dfrac{x^{2}-\pi^{2}}{6(x-\pi)}, & \text{se } \pi\le x<2\pi,\\[6pt] x^{3}+\pi, & \text{se } 2\pi\le x, \end{cases}
e pede, nos pontos x=\pi e x=2\pi:
  • calcular os limites laterais \displaystyle \lim_{x\to \pi^-} f(x), \displaystyle \lim_{x\to \pi^+} f(x), \displaystyle \lim_{x\to (2\pi)^-} f(x) e \displaystyle \lim_{x\to (2\pi)^+} f(x);
  • dizer se o limite \displaystyle \lim_{x\to\pi} f(x) e \displaystyle \lim_{x\to 2\pi} f(x) existem (ou seja, se os laterais coincidem).
Informações importantes fornecidas:
  • Para x<\pi usamos a fórmula \dfrac{\operatorname{sen}(x-\pi)}{3(x-\pi)}.
  • Para \pi\le x<2\pi usamos a fórmula \dfrac{x^{2}-\pi^{2}}{6(x-\pi)}.
  • Para x\ge 2\pi usamos a fórmula x^{3}+\pi.
    A resolução começa no próximo passo.]

Passo 2

Vou lembrar rapidamente (de modo objetivo e prático) os conceitos e resultados que vou usar — explicados de forma simples para usar na prova:
  • Definição prática de limite lateral:
    • \displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x) significa aproximar x de a vindo da esquerda ( x<a).
    • \displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x) significa aproximar x de a vindo da direita ( x>a).
    • O limite \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) existe se, e somente se, os dois laterais existem e são iguais.
  • Resultado padrão muito útil (e frequentemente usado em provas):
    \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
    Intuição curta: para t pequeno, \sin t comporta-se como t, então a razão tende a 1. Na prova é comum usar esse limite sempre que aparecer \sin(\text{algo})/(\text{mesmo algo}).
  • Fatoração e cancelamento: se aparecer uma expressão do tipo \dfrac{x^2-\pi^2}{x-\pi}, pode-se usar a identidade
    x^2-\pi^2=(x-\pi)(x+\pi),
    cancelar o fator (x-\pi) e depois avaliar o limite substituindo x por a (quando já não há indeterminação).
  • Continuidade de polinômios: um polinômio p(x) é contínuo em todo ponto, logo \lim_{x\to a} p(x)=p(a). Isso facilita limites vindos da direita quando a função é polinomial nessa região.
Agora aplico essas ideias ao caso x=\pi.

Passo 3

Cálculo do limite lateral à esquerda em x=\pi:
  • Para x<\pi a função é \dfrac{\operatorname{sen}(x-\pi)}{3(x-\pi)}. Ao aproximar x de \pi pela esquerda, a quantidade x-\pi tende a 0 por valores negativos, mas o valor absoluto tende a 0 — portanto serve usar a substituição t=x-\pi com t\to 0.
  • Fazer a troca: quando x\to\pi^- temos t=x-\pi\to 0^-. A expressão vira \frac{\operatorname{sen}(x-\pi)}{3(x-\pi)}=\frac{\sin t}{3t}=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sin t}{t}.
  • Aplicando o limite conhecido \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1, obtemos \displaystyle \lim_{x\to\pi^-} f(x)=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}.

Passo 4

Cálculo do limite lateral à direita em x=\pi:
  • Para \pi\le x<2\pi a função é \dfrac{x^{2}-\pi^{2}}{6(x-\pi)}. Note que ao substituir diretamente x=\pi obtemos a forma indeterminada 0/0. Então fatoramos o numerador: x^{2}-\pi^{2}=(x-\pi)(x+\pi).
  • Cancelando o fator (x-\pi) (válido para x\neq\pi, e no limite consideramos x próximos de \pi mas distintos), a expressão simplifica para \frac{x^{2}-\pi^{2}}{6(x-\pi)}=\frac{x+\pi}{6},\qquad (x\neq\pi).
  • Agora podemos avaliar o limite pela direita substituindo x\to\pi^+: \displaystyle \lim_{x\to\pi^+} f(x)=\frac{\pi+\pi}{6}=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}.

Passo 5

Comparação dos laterais em x=\pi e conclusão:
  • Encontramos \displaystyle \lim_{x\to\pi^-} f(x)=\frac{1}{3}, \qquad \displaystyle \lim_{x\to\pi^+} f(x)=\frac{\pi}{3}.
  • Como \dfrac{1}{3}\neq \dfrac{\pi}{3} (porque \pi\neq 1), os limites laterais são diferentes. Portanto o limite \displaystyle \lim_{x\to\pi} f(x) NÃO existe.
Observação útil para a prova: a expressão da segunda peça dá 0/0 em x=\pi, então a própria definição da função naquele ponto é ambígua se não simplificarmos; mas isso não altera o fato de que os dois laterais são distintos, logo o limite total não existe.
Agora passo para x=2\pi.

Passo 6

Cálculo do limite lateral à esquerda em x=2\pi:
  • Para a aproximação por valores menores que 2\pi usamos a segunda peça \dfrac{x^{2}-\pi^{2}}{6(x-\pi)} (válida para \pi\le x<2\pi). Como no passo anterior, essa expressão para x\neq\pi já pode ser simplificada: \frac{x^{2}-\pi^{2}}{6(x-\pi)}=\frac{x+\pi}{6}.
  • Avaliando quando x\to(2\pi)^- (substituindo x=2\pi após a simplificação), \displaystyle \lim_{x\to(2\pi)^-} f(x)=\frac{2\pi+\pi}{6}=\frac{3\pi}{6}=\frac{\pi}{2}.

Passo 7

Cálculo do limite lateral à direita em x=2\pi:
  • Para x\ge 2\pi a função é o polinômio x^{3}+\pi. Polinômios são contínuos, então o limite pela direita (e pela esquerda se fosse válido ali) é simplesmente o valor do polinômio em x=2\pi: \displaystyle \lim_{x\to(2\pi)^+} f(x)=(2\pi)^{3}+\pi=8\pi^{3}+\pi=\pi(8\pi^{2}+1).

Passo 8

Comparação dos laterais em x=2\pi e conclusão:
  • Encontramos \displaystyle \lim_{x\to(2\pi)^-} f(x)=\frac{\pi}{2}, \qquad \displaystyle \lim_{x\to(2\pi)^+} f(x)=8\pi^{3}+\pi=\pi(8\pi^{2}+1).
  • Claramente \dfrac{\pi}{2} é muito diferente de \pi(8\pi^{2}+1) (os numericamente não coincidem), logo os limites laterais não são iguais. Portanto o limite \displaystyle \lim_{x\to 2\pi} f(x) NÃO existe.
Observação rápida: a própria função está definida em x=2\pi pela terceira peça, e f(2\pi)=8\pi^{3}+\pi, mas isso não salva a existência do limite se a aproximação pela esquerda não coincide com esse valor.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to\pi^-} f(x)=\frac{1}{3}
\displaystyle \lim_{x\to\pi^+} f(x)=\frac{\pi}{3}
O limite \displaystyle \lim_{x\to\pi} f(x) não existe.
\displaystyle \lim_{x\to(2\pi)^-} f(x)=\frac{\pi}{2}
\displaystyle \lim_{x\to(2\pi)^+} f(x)=8\pi^{3}+\pi
O limite \displaystyle \lim_{x\to 2\pi} f(x) não existe.

Exercícios relacionados