Determine o domínio das função real de uma variável f dada por:
f(x)=\sqrt{x-2}

Passo 1

O enunciado dá a função real de uma variável f definida por f(x)=\sqrt{x-2} e pede para determinar o domínio dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é real (valores reais de saída).
  • A expressão é a raiz quadrada principal \sqrt{\cdot} aplicada ao radicando x-2.

Passo 2

Conceito importante (aulas rápidas e úteis): a raiz quadrada real \sqrt{y} está definida (é um número real) somente quando o radicando y é maior ou igual a zero. Exemplos para fixar a ideia:
  • \sqrt{4}=2 (radicando positivo → definido).
  • \sqrt{0}=0 (radicando zero → definido).
  • \sqrt{-1} não é um número real (radicando negativo → não definido no conjunto dos reais).
    Portanto, para f(x)=\sqrt{x-2} existir como número real é necessário que o radicando x-2 seja não-negativo.

Passo 3

Escrevemos a condição de existência da raiz (a restrição no domínio):
x-2 \ge 0.

Passo 4

Resolver a desigualdade passo a passo:
  • Partimos de x-2 \ge 0.
  • Somando 2 em ambos os lados (operações permitidas que preservam a desigualdade),
x-2+2 \ge 0+2 \quad\Rightarrow\quad x \ge 2.
Explicação sobre igualdade: o caso x=2 é permitido porque \sqrt{0}=0, ou seja, o radicando pode ser exatamente zero.

Passo 5

Verificação rápida com exemplos (para ganhar confiança):
  • Se x=1, então x-2=-1 e \sqrt{-1} não é real → ponto fora do domínio.
  • Se x=2, então x-2=0 e \sqrt{0}=0 → ponto incluído no domínio.
  • Se x=3, então x-2=1 e \sqrt{1}=1 → ponto incluído no domínio.

Passo 6

Conclusão e formas usuais de escrever o domínio:
  • Em notação de conjunto: \{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 2\}.
  • Em notação de intervalo: [2,\infty).
    Dica de prova: quando a função tem raízes pares (raiz quadrada, quarta, etc.), sempre imponha que o radicando seja \ge 0; se houver frações ou logaritmos, aplique também as restrições correspondentes.

Resposta

[2,\infty)
\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 2\}

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