Calcular os limites.
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}-a}{\sqrt{x^{2}+b^{2}}-b}, a, b>0.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}-a}{\sqrt{x^{2}+b^{2}}-b},\qquad a,b>0.
Note que o enunciado usa t\to 0 mas a expressão está em função de x. Vou interpretar que a intenção é o limite quando x\to 0. Portanto o problema que vamos resolver é:
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}-a}{\sqrt{x^{2}+b^{2}}-b},\qquad a,b>0.
As informações relevantes são: as constantes a e b são positivas, e precisamos calcular o valor desse limite quando x tende a 0.

Passo 2

Primeiro teste rápido: substituir x=0 diretamente na expressão. Temos
\sqrt{0^{2}+a^{2}}-a=a-a=0
e
\sqrt{0^{2}+b^{2}}-b=b-b=0.
Logo a expressão dá a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Isso significa que não podemos simplesmente substituir x=0; precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação. Uma técnica clássica para termos com raízes é usar a “racionalização” (multiplicar por conjugado).

Passo 3

Vou racionalizar o numerador e o denominador separadamente usando o conjugado. Lembre que o conjugado de \sqrt{x^{2}+a^{2}}-a é \sqrt{x^{2}+a^{2}}+a. Multiplicando numerador e denominador desse pedaço por esse conjugado obtemos:
\sqrt{x^{2}+a^{2}}-a = \frac{\big(\sqrt{x^{2}+a^{2}}-a\big)\big(\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a\big)}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a} = \frac{x^{2}+a^{2}-a^{2}}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a} = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a}.
Aqui fizemos a identidade (u-v)(u+v)=u^{2}-v^{2} com u=\sqrt{x^{2}+a^{2}} e v=a. O mesmo raciocínio vale para o denominador:
\sqrt{x^{2}+b^{2}}-b = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+b^{2}}+b}.

Passo 4

Substituindo essas expressões simplificadas na fração original, obtemos
\frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}-a}{\sqrt{x^{2}+b^{2}}-b} = \frac{\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a}}{\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+b^{2}}+b}} = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a}\cdot\frac{\sqrt{x^{2}+b^{2}}+b}{x^{2}}.
Os fatores x^{2} cancelam (para x\neq0), ficando
\frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}-a}{\sqrt{x^{2}+b^{2}}-b} = \frac{\sqrt{x^{2}+b^{2}}+b}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a}.

Passo 5

Agora a expressão já não é indeterminada quando x\to0; podemos passar ao limite usando que a função raiz quadrada é contínua. Assim
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^{2}+b^{2}}+b}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a} =\frac{\sqrt{0^{2}+b^{2}}+b}{\sqrt{0^{2}+a^{2}}+a} =\frac{b+b}{a+a}=\frac{2b}{2a}=\frac{b}{a}.
Uma observação importante: como a>0 e b>0, os denominadores \sqrt{x^{2}+a^{2}}+a e \sqrt{x^{2}+b^{2}}+b são estritamente positivos, então não há problema com divisão por zero durante as manipulações.

Resposta

\dfrac{b}{a}

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