Calcular os limites.
.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Note que o enunciado usa
mas a expressão está em função de
. Vou interpretar que a intenção é o limite quando
. Portanto o problema que vamos resolver é:
As informações relevantes são: as constantes
e
são positivas, e precisamos calcular o valor desse limite quando
tende a
.
Passo 2
Primeiro teste rápido: substituir
diretamente na expressão. Temos
e
Logo a expressão dá a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos simplesmente substituir
; precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação. Uma técnica clássica para termos com raízes é usar a “racionalização” (multiplicar por conjugado).
Passo 3
Vou racionalizar o numerador e o denominador separadamente usando o conjugado. Lembre que o conjugado de
é
. Multiplicando numerador e denominador desse pedaço por esse conjugado obtemos:
Aqui fizemos a identidade
com
e
. O mesmo raciocínio vale para o denominador:
Passo 4
Substituindo essas expressões simplificadas na fração original, obtemos
Os fatores
cancelam (para
), ficando
Passo 5
Agora a expressão já não é indeterminada quando
; podemos passar ao limite usando que a função raiz quadrada é contínua. Assim
Uma observação importante: como
e
, os denominadores
e
são estritamente positivos, então não há problema com divisão por zero durante as manipulações.