Resolva a equação diferencial homogênea dada por meio de uma substituição apropriada.
x \frac{d y}{d x}=y+\sqrt{x^{2}-y^{2}}, \quad x>0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
x\frac{dy}{dx}=y+\sqrt{x^{2}-y^{2}},\quad x>0.
Pergunta: encontrar a solução geral y(x) que satisfaz essa equação no domínio indicado.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável independente satisfaz x>0.
  • Aparece \sqrt{x^{2}-y^{2}}, o que exige x^{2}-y^{2}\ge 0 (ou seja, |y|\le x) para que a raiz seja real.
  • A equação relaciona x, y e \dfrac{dy}{dx} de forma que pode ser possível simplificá-la por uma substituição que aproveite homogeneidade (observação que será explorada nos próximos passos).

Passo 2

Motivação e substituição: vamos tentar a substituição usual para equações homogêneas, que é definir a razão entre y e x. Seja
y=vx,
onde v=v(x) é uma nova função. Essa escolha costuma simplificar quando os termos em x e y têm o mesmo grau de homogeneidade (aqui \sqrt{x^{2}-y^{2}} tem grau 1 em (x,y)). Agora precisamos relacionar \dfrac{dy}{dx} com v e \dfrac{dv}{dx}.

Passo 3

Calcular \dfrac{dy}{dx} com a substituição: usando y=vx,
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Substituímos isso na equação original:
x\left(v+x\frac{dv}{dx}\right)=vx+\sqrt{x^{2}-v^{2}x^{2}}.
Simplificando o lado direito usando x^{2}-v^{2}x^{2}=x^{2}(1-v^{2}) e extraindo x (como x>0 podemos fatorar sem trocar de sinal),
xv+x^{2}\frac{dv}{dx}=vx+x\sqrt{1-v^{2}}.
Podemos cancelar vx dos dois lados; resta
x^{2}\frac{dv}{dx}=x\sqrt{1-v^{2}}.
Dividindo por x (novamente seguro porque x>0),
x\frac{dv}{dx}=\sqrt{1-v^{2}}.

Passo 4

Separação de variáveis: reescrevemos para separar v e x:
\frac{dv}{\sqrt{1-v^{2}}}=\frac{dx}{x}.
Observação sobre domínio: como temos \sqrt{1-v^{2}} no denominador, precisamos de -1\le v\le 1; isso coincide com a restrição |y|\le x mencionada no Passo 1, pois v=y/x.

Passo 5

Integrar ambos os lados: conhecemos que a primitiva de \dfrac{1}{\sqrt{1-v^{2}}} em v é \arcsin(v), pois \dfrac{d}{dv}\arcsin(v)=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^{2}}}. Assim,
\int \frac{dv}{\sqrt{1-v^{2}}}=\int \frac{dx}{x}
\arcsin(v)=\ln|x|+C.
Como no enunciado x>0, temos \ln|x|=\ln x, logo
\arcsin(v)=\ln x + C,
onde C é constante arbitrária real.

Passo 6

Voltar à variável original y: resolvendo para v,
v=\sin(\ln x + C).
Lembrando que v=y/x, obtemos a solução geral
y=x\sin(\ln x + C).
Podemos reescrever a constante C como outra constante arbitrária C_1 se quisermos; a família de soluções é dada por essa expressão. Verificação rápida do domínio: como \sin(\cdot)\in[-1,1], temos |y|\le x e a raiz \sqrt{x^{2}-y^{2}} permanece real, portanto a solução é consistente com a condição inicial do enunciado.

Resposta

y=x\sin(\ln x + C)

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