Resolva a equação diferencial homogênea dada por meio de uma substituição apropriada.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
Pergunta: encontrar a solução geral
que satisfaz essa equação no domínio indicado.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A variável independente satisfaz
. - Aparece
, o que exige (ou seja, ) para que a raiz seja real. - A equação relaciona
, e de forma que pode ser possível simplificá-la por uma substituição que aproveite homogeneidade (observação que será explorada nos próximos passos).
Passo 2
Motivação e substituição: vamos tentar a substituição usual para equações homogêneas, que é definir a razão entre
e
. Seja
onde
é uma nova função. Essa escolha costuma simplificar quando os termos em
e
têm o mesmo grau de homogeneidade (aqui
tem grau 1 em
). Agora precisamos relacionar
com
e
.
Passo 3
Calcular
com a substituição: usando
,
Substituímos isso na equação original:
Simplificando o lado direito usando
e extraindo
(como
podemos fatorar sem trocar de sinal),
Podemos cancelar
dos dois lados; resta
Dividindo por
(novamente seguro porque
),
Passo 4
Separação de variáveis: reescrevemos para separar
e
:
Observação sobre domínio: como temos
no denominador, precisamos de
; isso coincide com a restrição
mencionada no Passo 1, pois
.
Passo 5
Integrar ambos os lados: conhecemos que a primitiva de
em
é
, pois
. Assim,
dá
Como no enunciado
, temos
, logo
onde
é constante arbitrária real.
Passo 6
Voltar à variável original
: resolvendo para
,
Lembrando que
, obtemos a solução geral
Podemos reescrever a constante
como outra constante arbitrária
se quisermos; a família de soluções é dada por essa expressão. Verificação rápida do domínio: como
, temos
e a raiz
permanece real, portanto a solução é consistente com a condição inicial do enunciado.