Exercício 1. (4,0 Pontos) Calcule as seguintes integrais.
int_{0}^{1 / 2} x \operatorname{sen}(3 \pi x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1/2} x\,\operatorname{sen}\bigl(3\pi x\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é aplicação de integração por partes, já que temos um produto de x por \operatorname{sen}(3\pi x).

Passo 2

Escolhemos as funções para integração por partes:
u = x, \quad dv = \operatorname{sen}\bigl(3\pi x\bigr)\,dx.
Então
du = dx, \quad v = \int \operatorname{sen}\bigl(3\pi x\bigr)\,dx = -\frac{1}{3\pi}\cos\bigl(3\pi x\bigr).

Passo 3

Pela fórmula de integração por partes,
\int x\,\operatorname{sen}\bigl(3\pi x\bigr)\,dx = u\,v - \int v\,du = -\frac{x}{3\pi}\cos\bigl(3\pi x\bigr) + \int \frac{1}{3\pi}\cos\bigl(3\pi x\bigr)\,dx.
Para a última integral, obtemos
\int \cos\bigl(3\pi x\bigr)\,dx = \frac{1}{3\pi}\operatorname{sen}\bigl(3\pi x\bigr),
logo a antiderivada completa é
F(x) = -\frac{x}{3\pi}\cos\bigl(3\pi x\bigr) + \frac{1}{9\pi^2}\operatorname{sen}\bigl(3\pi x\bigr).

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a 1/2:
F\bigl(\tfrac12\bigr) = -\frac{1/2}{3\pi}\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) + \frac{1}{9\pi^2}\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) = 0 + \frac{1}{9\pi^2}\bigl(-1\bigr) = -\frac{1}{9\pi^2},
F(0) = -0 + \frac{1}{9\pi^2}\cdot 0 = 0.

Resposta

\int_{0}^{1/2} x\,\operatorname{sen}\bigl(3\pi x\bigr)\,dx = -\frac{1}{9\pi^2}.

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